Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
Informações dadas: a desigualdade é estrita (sinal
); as expressões são polinomiais em
. A incógnita é
e precisamos encontrar o conjunto dos valores de
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro vamos expandir o lado direito para deixar a desigualdade mais explícita. Calculamos
:
Passo 3
Agora escrevemos a desigualdade substituindo a expansão e trazemos todos os termos para um mesmo lado (escolho o lado esquerdo):
Somando
e
em ambos os lados (ou seja, passando tudo para a esquerda) obtemos:
Passo 4
Agrupando os termos semelhantes na expressão da esquerda:
Perceba que todos os coeficientes têm um fator comum
. Fatoramos
:
Como
, podemos dividir ambos os lados da desigualdade por
sem mudar o sinal da desigualdade. Assim a desigualdade é equivalente a
(Explicação didática breve: dividir por um número positivo não altera o sinal da desigualdade; se fosse negativo, o sinal se inverteria.)
Passo 5
Vamos fatorar o trinômio
. Procuramos dois números cujo produto é
e cuja soma é
. Esses números são
e
. Podemos então fatorar:
Verificação rápida:
.
Passo 6
Agora a desigualdade virou
Quando um produto de dois fatores é negativo, os fatores têm sinais opostos (um positivo e outro negativo). Os pontos em que qualquer fator é zero são as raízes:
Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
,
e
.
Vamos testar um valor em cada intervalo para determinar o sinal do produto:
- Para
(no intervalo ):
Produto: negativo vezes negativo = positivo. Logo o produto é
nesse intervalo.
- Para
(no intervalo ):
Produto: negativo vezes positivo = negativo. Logo o produto é
nesse intervalo.
- Para
(no intervalo ):
Produto: positivo vezes positivo = positivo. Logo o produto é
nesse intervalo.
Portanto, o produto é negativo apenas no intervalo entre as raízes:
Passo 7
Observação final: como a desigualdade é estrita (
), as raízes
e
não pertencem à solução. Assim a solução é o intervalo aberto entre essas raízes.