Resolva:
x^{2}+4 x+2<-x(2+3 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
x^{2}+4x+2 < -x(2+3x).
Informações dadas: a desigualdade é estrita (sinal <); as expressões são polinomiais em x. A incógnita é x e precisamos encontrar o conjunto dos valores de x que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Primeiro vamos expandir o lado direito para deixar a desigualdade mais explícita. Calculamos -x(2+3x):
-x(2+3x) = -2x - 3x^{2}.

Passo 3

Agora escrevemos a desigualdade substituindo a expansão e trazemos todos os termos para um mesmo lado (escolho o lado esquerdo):
x^{2}+4x+2 < -2x - 3x^{2}.
Somando 2x e 3x^{2} em ambos os lados (ou seja, passando tudo para a esquerda) obtemos:
x^{2}+4x+2 + 2x + 3x^{2} < 0.

Passo 4

Agrupando os termos semelhantes na expressão da esquerda:
4x^{2} + 6x + 2 < 0.
Perceba que todos os coeficientes têm um fator comum 2. Fatoramos 2:
2(2x^{2}+3x+1) < 0.
Como 2>0, podemos dividir ambos os lados da desigualdade por 2 sem mudar o sinal da desigualdade. Assim a desigualdade é equivalente a
2x^{2}+3x+1 < 0.
(Explicação didática breve: dividir por um número positivo não altera o sinal da desigualdade; se fosse negativo, o sinal se inverteria.)

Passo 5

Vamos fatorar o trinômio 2x^{2}+3x+1. Procuramos dois números cujo produto é 2\cdot1=2 e cuja soma é 3. Esses números são 1 e 2. Podemos então fatorar:
2x^{2}+3x+1 = (2x+1)(x+1).
Verificação rápida: (2x+1)(x+1)=2x^{2}+2x+x+1=2x^{2}+3x+1.

Passo 6

Agora a desigualdade virou
(2x+1)(x+1) < 0.
Quando um produto de dois fatores é negativo, os fatores têm sinais opostos (um positivo e outro negativo). Os pontos em que qualquer fator é zero são as raízes:
2x+1=0 \implies x=-\frac{1}{2},\qquad x+1=0 \implies x=-1.
Esses pontos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,-1), (-1,-\tfrac{1}{2}) e (-\tfrac{1}{2},\infty).
Vamos testar um valor em cada intervalo para determinar o sinal do produto:
  • Para x=-2 (no intervalo (-\infty,-1)):
2x+1 = 2(-2)+1 = -3\;(<0),\qquad x+1=-1\;(<0).
Produto: negativo vezes negativo = positivo. Logo o produto é >0 nesse intervalo.
  • Para x=-\tfrac{3}{4} (no intervalo (-1,-\tfrac{1}{2})):
2x+1 = 2\bigl(-\tfrac{3}{4}\bigr)+1 = -\tfrac{3}{2}+1 = -\tfrac{1}{2}\;(<0),
x+1 = -\tfrac{3}{4}+1 = \tfrac{1}{4}\;(>0).
Produto: negativo vezes positivo = negativo. Logo o produto é <0 nesse intervalo.
  • Para x=0 (no intervalo (-\tfrac{1}{2},\infty)):
2x+1 = 1\; (>0),\qquad x+1=1\; (>0).
Produto: positivo vezes positivo = positivo. Logo o produto é >0 nesse intervalo.
Portanto, o produto é negativo apenas no intervalo entre as raízes:
-1 < x < -\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Observação final: como a desigualdade é estrita ( <), as raízes x=-1 e x=-\tfrac{1}{2} não pertencem à solução. Assim a solução é o intervalo aberto entre essas raízes.

Resposta

\displaystyle (-1,\,-\tfrac{1}{2})

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