(2,0 pontos) Seja f(x, y)=y^{2} e^{x}+x^{2} e^{y} e \left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,1).
a) Determine a direção \vec{u} em que a derivada direcional de f é máxima em (1,1);
b) Determine derivada direcional máxima de f em (1,1) na direção \vec{u};

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=y^{2}e^{x}+x^{2}e^{y}
e pede:
a) a direção \vec{u} em que a derivada direcional de f em (1,1) é máxima;
b) o valor dessa derivada direcional máxima.
O conteúdo necessário é o conceito de gradiente \nabla f, pois a derivada direcional máxima ocorre na direção de \nabla f e vale \|\nabla f\|.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}e^{x}+x^{2}e^{y}\bigr) =y^{2}e^{x}+2x\,e^{y},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}e^{x}+x^{2}e^{y}\bigr) =2y\,e^{x}+x^{2}e^{y}.

Passo 3

Avaliar essas parciais em (1,1):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1) =1^{2}e^{1}+2\cdot1\,e^{1}=3e,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,1) =2\cdot1\,e^{1}+1^{2}e^{1}=3e.
Logo
\nabla f(1,1)=(3e,\,3e).

Passo 4

A direção de derivada direcional máxima é o gradiente normalizado:
\vec{u} =\frac{\nabla f(1,1)}{\|\nabla f(1,1)\|} =\frac{(3e,3e)}{\sqrt{(3e)^{2}+(3e)^{2}}} =\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\,\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr).

Passo 5

O valor da derivada direcional máxima é a norma do gradiente:
\|\nabla f(1,1)\| =\sqrt{(3e)^{2}+(3e)^{2}} =3e\sqrt{2}.

Resposta

\displaystyle \vec{u}=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr) \displaystyle \text{Derivada direcional máxima}=3e\sqrt{2}á

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