Seja g(x)=\sqrt{x^{2}+2 x-3}.
(a) Determine o domínio de g.
(b) Verifique se g é contínua em todos os pontos de seu domínio.
Passo 1
O enunciado dá a função g definida por
g(x)=\sqrt{x^{2}+2x-3}.
Pede-se:
(a) determinar o domínio de g;
(b) verificar se g é contínua em todos os pontos do seu domínio.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a expressão dentro da raiz é x^{2}+2x-3 e estamos trabalhando com a raiz quadrada principal (função \sqrt{\cdot}) no contexto dos números reais, logo o radicando deve ser não negativo para g(x) estar definida (isto é, \text{radicando}\ge 0).
Passo 2
Relembre a condição para a raiz quadrada real estar bem definida: para \sqrt{A} ser um número real é necessário e suficiente que A\ge 0. Aqui o radicando é a função polinomial
p(x)=x^{2}+2x-3.
Portanto o domínio de g é o conjunto de x tais que
x^{2}+2x-3 \ge 0.
Passo 3
Fatoramos o polinômio para resolver a desigualdade. Procuramos fatores lineares de x^{2}+2x-3. Observamos que 3 e -1 têm soma 2, então
x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1).
As raízes da equação x^{2}+2x-3=0 são, portanto, x=-3 e x=1.
Passo 4
Para resolver a desigualdade (x+3)(x-1)\ge 0 fazemos um quadro de sinais (argumento clássico para produto de dois fatores):
O produto é zero em x=-3 e x=1.
Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola abre para cima, logo o produto será positivo fora do intervalo entre as raízes e negativo dentro.
Assim a solução da desigualdade é
x\le -3 \quad\text{ou}\quad x\ge 1.
Passo 5
Concluímos, então, que o domínio de g é
\boxed{(-\infty,-3]\cup[1,\infty).}
(Anote mentalmente: é a união dos dois semirretas onde o radicando é não negativo.)
Passo 6
Agora, lembrando o que significa continuidade num ponto: uma função f é contínua em a (com a no domínio) quando
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Na prática, mostra-se continuidade usando propriedades conhecidas: polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}; a função raiz quadrada \sqrt{t} é contínua em todo [0,\infty); e a composição de funções contínuas é contínua (no ponto apropriado). Vou justificar cada peça para que você possa usar na prova.
Passo 7
Justificativa: o polinômio p(x)=x^{2}+2x-3 é contínuo para todo x\in\mathbb{R}. Isto decorre das propriedades básicas: soma, produto e potência de funções polinomiais dão funções contínuas em todo \mathbb{R}. Em particular, para qualquer a\in\mathbb{R},
\lim_{x\to a} p(x)=p(a).
Passo 8
Justificativa para \sqrt{\cdot} ser contínua em [0,\infty):
Seja v\ge 0. Queremos mostrar que \lim_{t\to v}\sqrt{t}=\sqrt{v}.
Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon\sqrt{v}. Então, se |u-v|<\delta segue \left|\sqrt{u}-\sqrt{v}\right|<\varepsilon. Assim \sqrt{\cdot} é contínua em v>0.
Se v=0: então \left|\sqrt{u}-0\right|=\sqrt{u}. Se |u-0|<\delta então u<\delta e \sqrt{u}<\sqrt{\delta}. Tomando \delta=\varepsilon^{2} obtemos \sqrt{u}<\varepsilon. Logo \sqrt{\cdot} é contínua em 0.
Portanto \sqrt{\cdot} é contínua em todo [0,\infty).
Passo 9
Conclusão por composição: para qualquer a no domínio de g temos p(a)=a^{2}+2a-3\ge 0. Como p é contínua em a e \sqrt{\cdot} é contínua em p(a), a composição
g(x)=\sqrt{p(x)}
é contínua em a. Isso vale para todo a em (-\infty,-3]\cup[1,\infty). Em particular, os pontos x=-3 e x=1 (as bordas do domínio) também são pontos de continuidade porque o argumento acima funciona ali: p(-3)=0 e p(1)=0, e \sqrt{\cdot} é contínua em 0.
Passo 10
Resumo final das conclusões: o domínio foi determinado explicitamente e a continuidade foi verificada ponto a ponto utilizando que polinômios e a função raiz quadrada são contínuos e que a composição de contínuas é contínua. Mantenha essa estratégia na prova: fatorar para achar domínio e aplicar propriedades de continuidade por composição — é rápido e confiável.
Resposta
(a) (-\infty,-3]\cup[1,\infty)\n(b) Sim. g é contínua em todo o domínio (-\infty,-3]\cup[1,\infty).