Encontre equações simétricas para a reta de intersecção dos planos.
z=2 x-y-5, \quad z=4 x+3 y-5

Passo 1

O enunciado dá dois planos e pede as equações simétricas da reta que é a interseção desses planos. Informações dadas:
z=2x-y-5,
z=4x+3y-5.
Pergunta: encontrar equações simétricas da reta de interseção desses dois planos (ou seja, a reta cujos pontos satisfazem ambas as equações acima).

Passo 2

Primeiro convém escrever cada plano na forma padrão ax+by+cz+d=0, porque daí extraímos facilmente o vetor normal de cada plano (os coeficientes a,b,c formam o vetor normal). Subtraindo z de ambos os lados em cada equação temos:
2x-y-z-5=0
4x+3y-z-5=0
Logo os vetores normais são (peguei os coeficientes diretamente das equações acima):
\mathbf{n}_1 = (2,-1,-1), \qquad \mathbf{n}_2 = (4,3,-1).
Explicação didática: o vetor normal de um plano é um vetor perpendicular a todo vetor tangente ao plano; para a forma ax+by+cz+d=0 o vetor (a,b,c) é exatamente esse normal.

Passo 3

A reta de interseção é paralela a qualquer vetor que seja ortogonal a ambos os vetores normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2. O produto vetorial (cross product) de \mathbf{n}_1 por \mathbf{n}_2 dá um vetor ortogonal a ambos — portanto é um vetor diretor da reta. Fórmula do produto vetorial: para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\big(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\big).
Aplicando com \mathbf{n}_1=(2,-1,-1) e \mathbf{n}_2=(4,3,-1):
\mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2= \big((-1)(-1)-(-1)3,\;(-1)4-2(-1),\;2\cdot3-(-1)4\big).
Calcule passo a passo cada componente:
\text{1ª componente }=1-(-3)=4,ª
\text{2ª componente }=-4+2=-2,ª
\text{3ª componente }=6+4=10.ª
Logo um vetor diretor é
\mathbf{v}=(4,-2,10).
Podemos simplificar dividindo por 2 (qualquer múltiplo também é vetor diretor):
\mathbf{v}=(2,-1,5).
Comentário amistoso: é legal simplificar pra números menores — facilita contas escritas à mão na prova.

Passo 4

Agora precisamos de um ponto específico que pertença à interseção (um ponto da reta). Para isso, imponho que z seja o mesmo nas duas expressões e igualo:
2x-y-5=4x+3y-5.
Os -5 cancelam, então:
2x-y=4x+3y.
Reorganizando:
2x-y-4x-3y=0 \quad\Longrightarrow\quad -2x-4y=0.
Dividindo por -2:
x+2y=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-2y.
Escolho um parâmetro t para representar y: seja y=t. Então x=-2t. Agora calculo z usando a primeira equação do enunciado (poderia usar a segunda, dá o mesmo):
z=2x-y-5=2(-2t)-t-5=-4t-t-5=-5t-5.
Portanto pontos comuns têm coordenadas
(x,y,z)=(-2t,\;t,\;-5t-5).
Para obter um ponto particular, tomo t=0, que dá o ponto
P_0=(0,0,-5).
Comentário: escolher t=0 é prático porque simplifica; qualquer outro t daria outro ponto da reta.

Passo 5

Agora escrevemos a reta em forma paramétrica usando o ponto P_0 e o vetor diretor \mathbf{v}=(2,-1,5):
(x,y,z)=(0,0,-5)+s(2,-1,5).
Isto dá as equações paramétricas (para s\in\mathbb{R}):
x=2s,\qquad y=-s,\qquad z=-5+5s.
Das equações paramétricas passamos para a forma simétrica eliminando o parâmetro s. Isolando s em cada uma:
s=\frac{x}{2},\qquad s=-y,\qquad s=\frac{z+5}{5}.
Igualando-as, obtemos as equações simétricas da reta:
\frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z+5}{5}.
Se preferir remover o denominador negativo na segunda fração, uma forma equivalente é
\frac{x}{2} = -y = \frac{z+5}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+5}{5}

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