Encontre equações simétricas para a reta de intersecção dos planos.
Passo 1
O enunciado dá dois planos e pede as equações simétricas da reta que é a interseção desses planos. Informações dadas:
Pergunta: encontrar equações simétricas da reta de interseção desses dois planos (ou seja, a reta cujos pontos satisfazem ambas as equações acima).
Passo 2
Primeiro convém escrever cada plano na forma padrão
, porque daí extraímos facilmente o vetor normal de cada plano (os coeficientes
formam o vetor normal). Subtraindo
de ambos os lados em cada equação temos:
Logo os vetores normais são (peguei os coeficientes diretamente das equações acima):
Explicação didática: o vetor normal de um plano é um vetor perpendicular a todo vetor tangente ao plano; para a forma
o vetor
é exatamente esse normal.
Passo 3
A reta de interseção é paralela a qualquer vetor que seja ortogonal a ambos os vetores normais
e
. O produto vetorial (cross product) de
por
dá um vetor ortogonal a ambos — portanto é um vetor diretor da reta. Fórmula do produto vetorial: para
e
,
Aplicando com
e
:
Calcule passo a passo cada componente:
Logo um vetor diretor é
Podemos simplificar dividindo por
(qualquer múltiplo também é vetor diretor):
Comentário amistoso: é legal simplificar pra números menores — facilita contas escritas à mão na prova.
Passo 4
Agora precisamos de um ponto específico que pertença à interseção (um ponto da reta). Para isso, imponho que
seja o mesmo nas duas expressões e igualo:
Os
cancelam, então:
Reorganizando:
Dividindo por
:
Escolho um parâmetro
para representar
: seja
. Então
. Agora calculo
usando a primeira equação do enunciado (poderia usar a segunda, dá o mesmo):
Portanto pontos comuns têm coordenadas
Para obter um ponto particular, tomo
, que dá o ponto
Comentário: escolher
é prático porque simplifica; qualquer outro
daria outro ponto da reta.
Passo 5
Agora escrevemos a reta em forma paramétrica usando o ponto
e o vetor diretor
:
Isto dá as equações paramétricas (para
):
Das equações paramétricas passamos para a forma simétrica eliminando o parâmetro
. Isolando
em cada uma:
Igualando-as, obtemos as equações simétricas da reta:
Se preferir remover o denominador negativo na segunda fração, uma forma equivalente é