Calcule o limite
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{x^{4}+\ln x^{5}}{e^{2 x}+10 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0} x^{2}\,\operatorname{sen}\!\biggl(\frac{x^{4}+\ln x^{5}}{e^{2x}+10x}\biggr).
Trata-se de limite envolvendo função oscilante \operatorname{sen}(\cdot) e um fator x^2 que tende a zero. Vamos precisar reescrever o argumento do seno, analisar seu comportamento e depois usar o teorema do confronto (squeeze) para o produto com x^2.

Passo 2

Primeiro observe que para x>0
\ln x^{5}=5\ln x,
logo o argumento do seno fica
\frac{x^{4}+\ln x^{5}}{e^{2x}+10x} =\frac{x^{4}+5\ln x}{e^{2x}+10x}.

Passo 3

Expandindo o denominador para x\to0, temos
e^{2x}=1+2x+O(x^2),
então
e^{2x}+10x=1+2x+10x+O(x^2)=1+12x+O(x^2)\to1.

Passo 4

Portanto a razão no argumento do seno é
\frac{x^{4}+5\ln x}{e^{2x}+10x} =(x^{4}+5\ln x)\bigl(1+O(x)\bigr) =5\ln x+O(x\ln x)+x^4.
Como \ln x\to-\infty quando x\to0^+, segue que
\frac{x^{4}+5\ln x}{e^{2x}+10x}\longrightarrow -\infty.

Passo 5

Sabemos que para todo t, \operatorname{sen}(t) está entre -1 e 1. Logo
\bigl|x^{2}\,\operatorname{sen}\!\bigl(\cdots\bigr)\bigr|\le x^{2},
e como x^{2}\to0 quando x\to0, pelo teorema do confronto
\lim_{x\to0}x^{2}\,\operatorname{sen}\!\bigl(\dots\bigr)=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados