Questāo 5 [1 ponto] Faça a substituiçāo u=y / x para resolver y^{\prime}=\frac{y x+2 y^{2}}{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{y\,x + 2\,y^{2}}{x^{2}}
fazendo a substituição u = \frac{y}{x}. O conteúdo principal aqui é o método de equações homogêneas, onde identificamos que o lado direito é função de y/x.

Passo 2

Definimos
y = x\,u(x).
Dessa forma, derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
y' = u + x\,u'.

Passo 3

Substituímos y = x\,u e y' = u + x\,u' na equação original:
u + x\,u' = \frac{(x\,u)\,x + 2\,(x\,u)^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}u + 2\,x^{2}u^{2}}{x^{2}} = u + 2\,u^{2}.

Passo 4

Cancelamos u dos dois lados e isolamos u':
x\,u' = 2\,u^{2}.
Isso é uma equação de separação de variáveis:
\frac{du}{u^{2}} = 2\,\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos cada lado:
\int u^{-2}\,du = \int 2\,x^{-1}\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\,u^{-1} = 2\,\ln\lvert x\rvert + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para u, escrevemos
\frac{1}{u} = -\,2\,\ln\lvert x\rvert - C = K - 2\,\ln\lvert x\rvert,
onde K=-C é uma nova constante arbitrária. Logo,
u = \frac{1}{K - 2\,\ln\lvert x\rvert}.

Passo 7

Voltando à variável y, usamos y = x\,u:
y(x) = \frac{x}{K - 2\,\ln\lvert x\rvert},
que é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \frac{x}{K - 2\,\ln\lvert x\rvert},
onde K é constante arbitrária.

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