Questão 1 [4 pontos] Resolva as seguintes equações diferenciais.
y^{\prime}=\frac{2 x-4}{e^{y}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{2x - 4}{e^{y}}.
Esse tipo de equação é separável, ou seja, podemos escrever os termos em y de um lado e os termos em x do outro.

Passo 2

Reescrevendo y'=\frac{dy}{dx} e multiplicando ambos os lados por e^{y}\,dx, obtemos a separação de variáveis:
e^{y}\,dy = (2x - 4)\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int e^{y}\,dy = \int (2x - 4)\,dx.

Passo 4

Calculando as integrais, temos do lado esquerdo
\int e^{y}\,dy = e^{y},
e do lado direito
\int (2x - 4)\,dx = x^{2} - 4x + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Logo
e^{y} = x^{2} - 4x + C_{1}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, isolamos y:
y = \ln\bigl(x^{2} - 4x + C_{1}\bigr).

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = \ln\bigl(x^{2} - 4x + C\bigr),
onde C é constante arbitrária.

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