Calcule o limite:
lim x 0 x-1|x|.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0x-1lvert xrvert.
O conteúdo envolve limites unilaterais e a definição de valor absoluto: precisamos analisar separadamente xto0^+ e xto0^-.

Passo 2

Lembrando que
lvert xrvert = x,&x>0,-x,&x<0,
vamos estudar
limxto0^+x-1lvert xrvert e
limxto0^-x-1lvert xrvert.

Passo 3

Para xto0^+ temos lvert xrvert=x, então
x-1lvert xrvert=x-1x=1-1x
Quando xto0^+, tfrac1xto+infty, logo
limxto0^+x-1lvert xrvert = 1 - (+infty) = -infty

Passo 4

Para xto0^- temos lvert xrvert=-x, então
x-1lvert xrvert=x-1-x=-l(x-1xr)=-l(1-1xr)=-1+1x
Quando xto0^-, tfrac1xto-infty, logo
limxto0^-x-1lvert xrvert = -1 + (-infty) = -infty

Passo 5

Como os limites pela direita e pela esquerda coincidem no valor estendido -infty, concluímos que
limxto0x-1lvert xrvert=-infty

Resposta

-infty

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