Resolva os problemas de valores iniciais:
\left(9 x^{2}+y-1\right)-(4 y-x) y^{\prime}=0 ; \quad y(1)=0
\left(9 x^{2}+y-1\right)-(4 y-x) y^{\prime}=0 ; \quad y(1)=0
Passo 1
O enunciado é resolver o PVI
com condição inicial
. Isso envolve equações diferenciais de 1ª ordem exatas; vamos precisar verificar exatidão, achar a função potencial e usar a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a equação na forma
. Aqui temos
e
Para ser exata precisamos ter
. Vamos conferir:
e
. Como batem, é exata.
Passo 3
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
e
. Integramos
em relação a
:
Incluímos uma função
pois ao integrar em
pode surgir termo só de
.
Passo 4
Para achar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
. Temos
e isso deve ser igual a
. Logo
Passo 5
Com
em mãos, a solução implícita fica:
Agora aplicamos a condição inicial
:
Passo 6
Se quisermos
explicitamente, resolvemos a equação quadrática em
:
Multiplicando por
e aplicando a fórmula de Bhaskara, obtemos
Para satisfazer
escolhemos o sinal
.