Resolva os problemas de valores iniciais:
\left(9 x^{2}+y-1\right)-(4 y-x) y^{\prime}=0 ; \quad y(1)=0

Passo 1

O enunciado é resolver o PVI (9x^2 + y - 1) - (4y - x),y' = 0 com condição inicial y(1)=0. Isso envolve equações diferenciais de 1ª ordem exatas; vamos precisar verificar exatidão, achar a função potencial e usar a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. Aqui temos
M = 9x^2 + y - 1
e
N = -(4y - x) = x - 4y
Para ser exata precisamos ter partial M/partial y = partial N/partial x. Vamos conferir: partial M/partial y = 1 e partial N/partial x = 1. Como batem, é exata.

Passo 3

Como é exata, existe uma função potencial phi(x,y) tal que partial phi/partial x = M e partial phi/partial y = N. Integramos M em relação a x:
phi(x,y) = integral(9x^2 + y - 1),dx = 3x^3 + x y - x + h(y)
Incluímos uma função h(y) pois ao integrar em x pode surgir termo só de y.

Passo 4

Para achar h(y), derivamos phi em relação a y e igualamos a N. Temos
partial phipartial y = x + h'(y)
e isso deve ser igual a N = x - 4y. Logo
x + h'(y) = x - 4y implies h'(y) = -4y implies h(y) = -2y^2

Passo 5

Com h(y) em mãos, a solução implícita fica:
3x^3 + x y - x - 2y^2 = C
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=0:
3(1)^3 + 1cdot0 - 1 - 2cdot0^2 = C implies 3 - 1 = C implies C = 2

Passo 6

Se quisermos y explicitamente, resolvemos a equação quadrática em y:
-2y^2 + x y + 3x^3 - x - 2 = 0
Multiplicando por -1 e aplicando a fórmula de Bhaskara, obtemos
y = x pm raizx^2 + 8(3x^3 - x - 2)4 = x pm raiz24x^3 + x^2 - 8x - 164
Para satisfazer y(1)=0 escolhemos o sinal -.

Resposta

y(x) = x - raiz24x^3 + x^2 - 8x - 164

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