Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis dadas:
Definição: Uma equação diferencial da forma M(t)+N(y) y^prime=0 ou M(t) d t+ N(t) d y=0 é dita uma equação diferencial de variáveis separáveis e sua solução geral é dada por:
integral M(t) d t=-integral N(y) d y+C
3 y^2 y^prime-t^2=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo variáveis separáveis. A equação que temos é:
3 y^2 y^prime - t^2 = 2
Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e em lados diferentes da equação e depois integrar cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar o termo que envolve 3 y^2 y^prime = t^2 + 2 (a derivada de y^prime = t^2 + 23 y^2 em relação a ). Vamos reorganizar a equação:
Agora, dividimos ambos os lados por para deixar sozinho:

Passo 3

Como a equação é de variáveis separáveis, podemos escrever 3 y^2 dy = (t^2 + 2) dt como e separar os termos de e :
Agora, vamos integrar os dois lados para encontrar a solução geral.

Passo 4

Vamos integrar cada lado da equação:
Para o lado esquerdo:
integral 3 y^2 dy = y^3 + C1
Para o lado direito:
integral (t^2 + 2) dt = t^33 + 2t + C2
Podemos combinar as constantes y^3 = t^33 + 2t + C e em uma só constante :

Passo 5

Se quisermos expressar y(t) = ( t^33 + 2t + C )^13 de forma explícita, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = ( t^33 + 2t + C )^13

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