Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis dadas:
Definição: Uma equação diferencial da forma
ou
é dita uma equação diferencial de variáveis separáveis e sua solução geral é dada por:
Definição: Uma equação diferencial da forma
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo variáveis separáveis. A equação que temos é:
Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação e depois integrar cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar o termo que envolve
(a derivada de
em relação a
). Vamos reorganizar a equação:
Agora, dividimos ambos os lados por
para deixar
sozinho:
Passo 3
Como a equação é de variáveis separáveis, podemos escrever
como
e separar os termos de
e
:
Agora, vamos integrar os dois lados para encontrar a solução geral.
Passo 4
Vamos integrar cada lado da equação:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Podemos combinar as constantes
e
em uma só constante
:
Passo 5
Se quisermos expressar
de forma explícita, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: