Utilizando a definição de derivada:
lim h 0 f(x+h)-f(x)h
calcule a expressão de f^prime(x) dos casos a seguir:
(a) f(x)=x^3-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função f^prime(x) = lim h 0 f(x+h)-f(x)h usando a definição de derivada. Isso envolve entender como a função muda quando fazemos pequenas variações em . Para isso, vamos usar a fórmula da derivada que você me passou:

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(x + h) = (x + h)^3 - (x + h) . Substituindo por na função original:

Passo 3

Agora, vamos expandir (x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 . Lembra que f(x + h) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x - h . Aplicando isso:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular f(x + h) - f(x) = (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x - h) - (x^3 - x) :
f(x + h) - f(x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - h
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos dividir tudo por f(x + h) - f(x)h = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - hh = 3x^2 + 3xh + h^2 - 1 de acordo com a definição da derivada:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando f^prime(x) = lim h 0 (3x^2 + 3xh + h^2 - 1) = 3x^2 + 0 + 0 - 1 = 3x^2 - 1 tende a 0:

Resposta

A derivada de f^prime(x) = 3x^2 - 1 é:

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