Calcule o limite
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Aqui, estamos lidando com Cálculo de Limites, e vamos precisar entender como as funções se comportam quando a variável está perto de um determinado valor. Vamos dividir isso em etapas para facilitar!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Temos duas partes principais:
-
: A função cosseno é uma função trigonométrica que oscila entre -1 e 1. -
: Essa é uma função racional que tende a crescer sem limite quando se aproxima de 0.
Passo 3
Vamos entender o comportamento de cada parte quando
se aproxima de 0:
-
: Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Como , se aproxima de 1. -
: Quando se aproxima de 0, o denominador fica muito pequeno, fazendo com que cresça sem limite. Dependendo do lado por onde se aproxima de 0, o limite pode ir para ou . - Se
se aproxima de 0 pela direita ( ), tende a . - Se
se aproxima de 0 pela esquerda ( ), tende a .
- Se
Passo 4
Agora, vamos combinar as duas partes:
Sabemos que
e
não existe porque vai para
ou
dependendo do lado.
Passo 5
Como a parte
não tem um limite definido (vai para
de um lado e para
do outro), o limite total também não existe no sentido de que não há um único valor finito ou infinito para o qual a expressão tende.
Resposta
O limite não existe porque a expressão cresce sem limite quando
se aproxima de 0.