Calcule o limite
lim x 0(cos (3 x))(5x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0. Aqui, estamos lidando com Cálculo de Limites, e vamos precisar entender como as funções se comportam quando a variável está perto de um determinado valor. Vamos dividir isso em etapas para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Temos duas partes principais:
  1. : A função cosseno é uma função trigonométrica que oscila entre -1 e 1.
  2. : Essa é uma função racional que tende a crescer sem limite quando se aproxima de 0.

Passo 3

Vamos entender o comportamento de cada parte quando limx to 0 cos(3x) = 1 se aproxima de 0:
  • : Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Como , se aproxima de 1.
  • : Quando se aproxima de 0, o denominador fica muito pequeno, fazendo com que cresça sem limite. Dependendo do lado por onde se aproxima de 0, o limite pode ir para ou .
    • Se se aproxima de 0 pela direita ( ), tende a .
    • Se se aproxima de 0 pela esquerda ( ), tende a .

Passo 4

Agora, vamos combinar as duas partes:
limx to 0 cos(3x) cdot 5x = limx to 0 cos(3x) cdot limx to 0 5x
Sabemos que e não existe porque vai para ou dependendo do lado.

Passo 5

Como a parte não tem um limite definido (vai para de um lado e para do outro), o limite total também não existe no sentido de que não há um único valor finito ou infinito para o qual a expressão tende.

Resposta

O limite não existe porque a expressão cresce sem limite quando se aproxima de 0.

Exercícios relacionados