Escreva os quatro primeiros termos das séries seguintes. Determine a convergência e caso sejam convergentes, determine a sua soma.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever os quatro primeiros termos da série
, além de verificar se essa série converge e, se sim, descobrir qual é a soma dela. Para isso, vamos lembrar um pouco sobre séries geométricas e como calcular seu somatório.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso é uma série infinita onde cada termo é dado por
, começando com
.
Passo 3
Vamos escrever os quatro primeiros termos dessa série. Substituindo
por 0, 1, 2 e 3:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Então, os quatro primeiros termos são:
,
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se essa série converge. Essa é uma série geométrica, que tem a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum entre os termos. No nosso caso,
e
.
Para uma série geométrica convergir, a razão
precisa satisfazer
. Aqui,
, então a série converge.
Passo 5
Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo
e
:
Resposta
Os quatro primeiros termos da série são
,
,
e
. A série converge e a soma dela é
.