Escreva os quatro primeiros termos das séries seguintes. Determine a convergência e caso sejam convergentes, determine a sua soma.
sumn=0^infty 13^n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever os quatro primeiros termos da série , além de verificar se essa série converge e, se sim, descobrir qual é a soma dela. Para isso, vamos lembrar um pouco sobre séries geométricas e como calcular seu somatório.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso é uma série infinita onde cada termo é dado por , começando com .

Passo 3

Vamos escrever os quatro primeiros termos dessa série. Substituindo por 0, 1, 2 e 3:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, os quatro primeiros termos são: , , e .

Passo 4

Agora, vamos verificar se essa série converge. Essa é uma série geométrica, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos. No nosso caso, e .
Para uma série geométrica convergir, a razão precisa satisfazer . Aqui, , então a série converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Substituindo S = 11 - 13 = 123 = 32 e :

Resposta

Os quatro primeiros termos da série são , , e . A série converge e a soma dela é .

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