Calcule o limite:
lim x 0^+ ln x

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular
limxto 0^+ ln x
Conteúdo: limites e comportamento da função logarítmica (ln).
O que vamos precisar:
  • Saber que ln(x) existe só para x>0.
  • Entender que ln(x) é a função inversa de e^x.
  • Usar uma substituição simples para tornar o limite mais claro.

Passo 2

Antes de mais nada, lembra que a função ln(x):
  1. Está definida só para x>0.
  2. Cresce devagar quando x fica grande e cai sem parar (vai para -infty) quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo.
    Isso já dá uma pista de que ln(x) “despenca” para -infty à medida que xto0^+.

Passo 3

Para ver isso de forma mais formal, faz a substituição
x = e^-t,
onde t>0.
  • Se xto0^+, então e^-tto0^+, o que significa tto +infty.
  • Agora escreve
ln(x) ;=;lnl(e^-tr);=;-,t
Quando tto+infty, o valor de -t vai para -infty.

Passo 4

Portanto, pelo comportamento da substituição, concluímos que
limxto 0^+ln(x) = -infty

Resposta

-infty

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