Exercício 1.9. Negar cada uma das sentenças da definição acima e dar um exemplo de uma função
que não é par e não é impar.
Verifique que
é uma função par e que
é uma função impar.
Verifique que toda funccão
pode ser escrita como soma de uma função par com uma função impar.
Passo 1
O enunciado pede para negar as definições de função par e função ímpar, dar um exemplo de f: ℝ→ℝ que não seja nem par nem ímpar, verificar que g(x)=f(x)+f(−x) é par e h(x)=f(x)−f(−x) é ímpar, e mostrar que toda função real pode ser escrita como soma de uma parte par e uma ímpar. O conteúdo é simetria de funções e vamos usar as definições formais de paridade.
Passo 2
A definição de função par é
. A negação é \(
∃x∈ℝ
∃x∈ℝ
tal que
f(−x)≠f(x)
\). A definição de função ímpar é . A negação é \(
∃x∈ℝ
f(−x)≠f(x)
\). A definição de função ímpar é
∃x∈ℝ
tal que
f(−x)≠−f(x)
\). Um exemplo que não é nem par nem ímpar é , pois
e
.
f(−x)≠−f(x)
\). Um exemplo que não é nem par nem ímpar é
Passo 3
Definimos
. Para verificar paridade, calculamos:
Como
para todo x, g é função par.
Passo 4
Definimos
. Para verificar imparidade, calculamos:
Logo h é função ímpar.
Passo 5
Para decompor f, note que:
Aqui
é par e
é ímpar. Assim toda f:ℝ→ℝ pode ser escrita como soma de uma função par e uma função ímpar.
Resposta
As negações são
para par e
para ímpar. Um exemplo nem par nem ímpar é
. A função
é par e
é ímpar. Toda função
pode ser escrita como
onde
é par e
é ímpar.