Exercício 1.9. Negar cada uma das sentenças da definição acima e dar um exemplo de uma função f: R longrightarrow R que não é par e não é impar.
Verifique que g(x)=f(x)+f(-x) é uma função par e que h(x)=f(x)-f(-x) é uma função impar.
Verifique que toda funccão f: R longrightarrow R pode ser escrita como soma de uma função par com uma função impar.

Passo 1

O enunciado pede para negar as definições de função par e função ímpar, dar um exemplo de f: ℝ→ℝ que não seja nem par nem ímpar, verificar que g(x)=f(x)+f(−x) é par e h(x)=f(x)−f(−x) é ímpar, e mostrar que toda função real pode ser escrita como soma de uma parte par e uma ímpar. O conteúdo é simetria de funções e vamos usar as definições formais de paridade.

Passo 2

A definição de função par é . A negação é \(
∃x∈ℝ
tal que
f(−x)≠f(x)
\). A definição de função ímpar é . A negação é \(
∃x∈ℝ
tal que
f(−x)≠−f(x)
\). Um exemplo que não é nem par nem ímpar é , pois e .

Passo 3

Definimos g(x)=f(x)+f(−x). Para verificar paridade, calculamos:
g(−x)=f(−x)+f(x)=g(x)
Como g(−x)=g(x) para todo x, g é função par.

Passo 4

Definimos h(x)=f(x)−f(−x). Para verificar imparidade, calculamos:
h(−x)=f(−x)−f(x)=−(f(x)−f(−x))=−h(x)
Logo h é função ímpar.

Passo 5

Para decompor f, note que:
f(x)=12l(f(x)+f(−x)r)+12l(f(x)−f(−x)r)=12g(x)+12h(x)
Aqui tfrac12g(x) é par e tfrac12h(x) é ímpar. Assim toda f:ℝ→ℝ pode ser escrita como soma de uma função par e uma função ímpar.

Resposta

As negações são ∃x∈ℝ: f(−x)≠f(x) para par e ∃x∈ℝ: f(−x)≠−f(x) para ímpar. Um exemplo nem par nem ímpar é f(x)=x+1. A função g(x)=f(x)+f(−x) é par e h(x)=f(x)−f(−x) é ímpar. Toda função f:ℝ→ℝ pode ser escrita como
f(x)=tfrac12g(x)+tfrac12h(x),
onde tfrac12g(x) é par e tfrac12h(x) é ímpar.

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