Seja x estritamente positivo. Utilize a identidade log 10 x=K cdot ln x a fim de obter a expressão para mudança de base, sendo K a constante que relaciona os logaritmos decimal e natural.

Passo 1

O enunciado pede que, para x>0, a partir da identidade
log10x = K ln x
a gente derive a fórmula geral de mudança de base de um logaritmo. O conteúdo envolvido é uso das propriedades de logaritmos e definição de mudança de base.

Passo 2

Determinar a constante K. Basta escolher x=e, pois ln e=1. Substituindo em log10x=Kln x com x=e, vem
log10e = K ln e Longrightarrow log10e = Kcdot1
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K = log10e = 1ln 10

Passo 3

Recordando a definição de mudança de base para qualquer a>0, aneq1:
logax = log10xlog10a

Passo 4

Substituindo log10x=Kln x e log10a=Kln a na fórmula acima, obtemos
logax = Kln xKln a
e, cancelando K, resulta
logax = ln xln a

Resposta

logax = ln xln a

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