Exercício 1.10. Seja f(x)=1 / x para x>1. Mostre que 0<f(x)<1.
Mostre que se x>2 então 0<f(x)<1 / 2.
Generalise mostrando que se x>n>0 onde n in N então 0<f(x)<1 / n.
Conclua que f(x) longrightarrow 0 quando n longrightarrow+infty.

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=1/x para x>1 e pede para mostrarmos sequencialmente desigualdades do tipo 0<f(x)<1, depois 0<f(x)<1/2 quando x>2, depois a generalização para x>n, e por fim concluir que f(x) tende a zero quando nto+infty. Vamos usar apenas a propriedade básica de frações e a ideia de que denominador maior dá fração menor.

Passo 2

Como x>1 implica que o denominador x é positivo, temos imediatamente
1/x>0
ou seja f(x)>0. Além disso, como x>1, o denominador é maior que 1, então a fração é menor que 1:
1/x<1
Portanto concluímos 0<f(x)<1.

Passo 3

Se agora sabemos que x>2, o mesmo raciocínio mostra que o denominador é maior que 2 e, assim,
1/x<1/2
Juntando com o fato de ser positiva, obtemos 0<f(x)<1/2.

Passo 4

Para generalizar, seja um natural n tal que x>n>0. Então o denominador x é maior que n e segue-se que
1/x<1/n
Daí, junto com 1/x>0, temos 0<f(x)<1/n.

Passo 5

À medida que deixamos n crescer sem limite, ou seja nto+infty, sabemos pela propriedade padrão das sequências que
1/nlongrightarrow0
Logo, pelo encadeamento de desigualdades 0<f(x)<1/n, concluímos que
f(x)=1/xlongrightarrow0
quando nto+infty.

Resposta

A função f(x)=1/x satisfaz todas as desigualdades pedidas e, ao fazermos nto+infty, segue-se que f(x)to0.

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