Exercício 1.10. Seja
para
. Mostre que
.
Mostre que se
então
.
Generalise mostrando que se
onde
então
.
Conclua que
quando
.
Mostre que se
Generalise mostrando que se
Conclua que
Passo 1
O enunciado define a função
para
e pede para mostrarmos sequencialmente desigualdades do tipo
, depois
quando
, depois a generalização para
, e por fim concluir que
tende a zero quando
. Vamos usar apenas a propriedade básica de frações e a ideia de que denominador maior dá fração menor.
Passo 2
Como
implica que o denominador
é positivo, temos imediatamente
ou seja
. Além disso, como
, o denominador é maior que 1, então a fração é menor que 1:
Portanto concluímos
.
Passo 3
Se agora sabemos que
, o mesmo raciocínio mostra que o denominador é maior que 2 e, assim,
Juntando com o fato de ser positiva, obtemos
.
Passo 4
Para generalizar, seja um natural
tal que
. Então o denominador
é maior que
e segue-se que
Daí, junto com
, temos
.
Passo 5
À medida que deixamos
crescer sem limite, ou seja
, sabemos pela propriedade padrão das sequências que
Logo, pelo encadeamento de desigualdades
, concluímos que
quando
.
Resposta
A função
satisfaz todas as desigualdades pedidas e, ao fazermos
, segue-se que
.