ExERCÍCIO 1.11. Use a tricotomia da ordem dos números reais para mostrar que:
Se
é um número real tal que
qualquer que seja
então
.
A seguir calcule o limite
.
Se
A seguir calcule o limite
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, usando a tricotomia da ordem em ℝ, mostrar que se um número real satisfy x≥0 e ainda x<ε para todo ε>0 então x=0; segundo, calcular o limite
. Vamos precisar da propriedade de tricotomia (para cada x≥0 ou x=0 ou x>0) e da definição de limite quando x→+∞.
Passo 2
Para provar que x=0, assumimos por contradição que x>0. Então
, e por hipótese teria
para todo ε>0, em particular para
. Assim
mas isso implica
que contradiz
. Logo a hipótese x>0 é impossível. Como sabemos que x≥0, a única opção restante pela tricotomia é x=0.
Passo 3
Para achar
, usamos a definição de limite para x→+∞: dado qualquer
, escolhemos
Então, se
, temos
Isso mostra que para todo ε>0 existe M tal que |1/x^n-0|<ε sempre que x>M, provando que o limite é 0.