ExERCÍCIO 1.11. Use a tricotomia da ordem dos números reais para mostrar que:
Se x >= 0 é um número real tal que x<epsilon qualquer que seja epsilon>0 então x=0.
A seguir calcule o limite lim x +infty 1 / x^n.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, usando a tricotomia da ordem em ℝ, mostrar que se um número real satisfy x≥0 e ainda x<ε para todo ε>0 então x=0; segundo, calcular o limite limxto+infty1x^n. Vamos precisar da propriedade de tricotomia (para cada x≥0 ou x=0 ou x>0) e da definição de limite quando x→+∞.

Passo 2

Para provar que x=0, assumimos por contradição que x>0. Então x/2>0, e por hipótese teria x<ε para todo ε>0, em particular para ε=x/2. Assim
x< x2
mas isso implica
x- x2<0Longrightarrow x2<0
que contradiz x/2>0. Logo a hipótese x>0 é impossível. Como sabemos que x≥0, a única opção restante pela tricotomia é x=0.

Passo 3

Para achar limxto+infty1x^n, usamos a definição de limite para x→+∞: dado qualquer ε>0, escolhemos
M=l(1/εr)^1/n>0
Então, se x>M, temos
0<1x^n<1M^n=ε
Isso mostra que para todo ε>0 existe M tal que |1/x^n-0|<ε sempre que x>M, provando que o limite é 0.

Resposta

x=0 e limxto+infty1x^n=0

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