Calcule o limite de
lim x a |x-a|x^2-a^2

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado pede: calcular o limite
limxto a |x - a|x^2 - a^2
O conteúdo é cálculo de limite envolvendo valor absoluto e fatoração de diferença de quadrados. Vamos usar teoria de limites unilaterais e a identidade x^2 - a^2 = (x - a)(x + a).

Passo 2

Fatoramos o denominador sempre que x neq a:
x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)
Assim a expressão fica
|x - a|x^2 - a^2 = |x - a|(x - a)(x + a)

Passo 3

Para resolver, precisamos tratar os dois casos de x em relação a a, pois |x - a| muda de sinal:

Passo 4

Quando x > a, temos |x - a| = x - a. Logo
|x - a|(x - a)(x + a) = x - a(x - a)(x + a) = 1x + a
Fazendo x to a^+, obtemos o limite unilateral à direita:
limxto a^+ |x - a|x^2 - a^2 = 1a + a = 12a

Passo 5

Quando x < a, temos |x - a| = -(x - a) = a - x. Então
|x - a|(x - a)(x + a) = -(x - a)(x - a)(x + a) = -1x + a
Fazendo x to a^-, o limite unilateral à esquerda é
limxto a^- |x - a|x^2 - a^2 = -1a + a = -12a

Passo 6

Como os dois limites laterais são diferentes ( +1/(2a) e -1/(2a)), o limite bilateral não existe.

Passo 7

Observação: se a = 0, o denominador x^2 faz o quociente |x|/x^2 = 1/|x| explodir, logo o limite também não existe (tende a +infty).

Resposta

O limite bilateral não existe. Os limites unilaterais são
limxto a^+ = 12a, limxto a^- = -12a

Exercícios relacionados