Calcule o limite:
lim x 1 / 2 1-2 raizxraizx-1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto tfrac121-2raizxraizx-1
O conteúdo é limites de funções compostas e uso da continuidade de raizx. Vamos verificar se há indeterminação e, em caso contrário, aplicar substituição direta e simplificar o resultado.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em x=tfrac12:
o numerador fica
1 - 2raiztfrac12 =1 - 2raiz2,
e o denominador fica
raiztfrac12 - 1 =1raiz2-1
Como ambos são números finitos e o denominador é diferente de zero ( tfrac1raiz2neq1), não há forma indeterminada, e o limite vale o valor da razão desses números.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a razão obtida por substituição, temos
limxto tfrac121-2raizxraizx-1 =1-tfrac2raiz2tfrac1raiz2-1

Passo 4

Simplificamos essa expressão. Primeiro escrevemos cada parte sobre o mesmo denominador raiz2:
1-2raiz2 =raiz2-2raiz2, 1raiz2-1 =1-raiz2raiz2
Logo,
tfracraiz2-2raiz2tfrac1-raiz2raiz2 =raiz2-21-raiz2 =2-raiz2raiz2-1
e, multiplicando numerador e denominador por raiz2+1,
(2-raiz2)(raiz2+1)(raiz2-1)(raiz2+1) =2raiz2+2-2-raiz22-1 =raiz2

Resposta

raiz2

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