é uma solução particular de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que a função constante
é uma solução particular da equação diferencial
Aqui estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver uma equação diferencial envolvendo derivadas de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
é uma solução. Uma função é solução da equação diferencial se, ao substituir
e suas derivadas na equação, ela satisfaz a igualdade. Vamos verificar isso.
Passo 3
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Ou seja, a equação se torna
, que é verdadeira. Portanto,
realmente é uma solução particular.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial
Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada redução de ordem. Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar a equação.
Passo 5
Vamos definir
. Assim,
. Substituindo na equação:
Agora temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de
e
.
Passo 6
Essa equação pode ser resolvida usando um fator integrante. A equação tem a forma:
Podemos reescrever isso como:
Separando as variáveis:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Onde
é uma nova constante.
Passo 9
Lembrando que
, temos:
Essa é uma equação diferencial que ainda depende de
, mas sabemos que
é uma solução particular. Isso sugere que a solução geral pode envolver funções constantes.
Passo 10
Para simplificar, assumimos que
é constante (como na solução particular). Então, a solução geral é:
Onde
é uma constante qualquer. Isso faz sentido porque, se
é constante, suas derivadas são zero, satisfazendo a equação original.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é
, onde
é uma constante qualquer.