y(x)=789 é uma solução particular de
y^prime prime+3 y y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que a função constante y(x) = 789 é uma solução particular da equação diferencial
y'' + 3yy' = 0
Aqui estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver uma equação diferencial envolvendo derivadas de y .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que y(x) = 789 é uma solução. Uma função é solução da equação diferencial se, ao substituir y e suas derivadas na equação, ela satisfaz a igualdade. Vamos verificar isso.

Passo 3

Calculando as derivadas de y(x) = 789 :
y' = dydx = 0 e y'' = d^2ydx^2 = 0
Substituindo na equação diferencial:
0 + 3 times 789 times 0 = 0
Ou seja, a equação se torna 0 = 0 , que é verdadeira. Portanto, y(x) = 789 realmente é uma solução particular.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial
y'' + 3yy' = 0
Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada redução de ordem. Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar a equação.

Passo 5

Vamos definir p = y' . Assim, y'' = p' . Substituindo na equação:
p' + 3y p = 0
Agora temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de p e y .

Passo 6

Essa equação pode ser resolvida usando um fator integrante. A equação tem a forma:
dpdx + 3y p = 0
Podemos reescrever isso como:
dpdx = -3y p
Separando as variáveis:
dpp = -3y , dx

Passo 7

Integrando ambos os lados:
integral 1p , dp = -3 integral y , dx
Isso nos dá:
ln |p| = -3 integral y , dx + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Exponenciando ambos os lados para resolver para p :
p = e^-3 integral y , dx + C = K e^-3 integral y , dx
Onde K = e^C é uma nova constante.

Passo 9

Lembrando que p = y' , temos:
y' = K e^-3 integral y , dx
Essa é uma equação diferencial que ainda depende de y , mas sabemos que y = 789 é uma solução particular. Isso sugere que a solução geral pode envolver funções constantes.

Passo 10

Para simplificar, assumimos que y é constante (como na solução particular). Então, a solução geral é:
y(x) = C
Onde C é uma constante qualquer. Isso faz sentido porque, se y é constante, suas derivadas são zero, satisfazendo a equação original.

Resposta

A solução geral da equação diferencial y'' + 3yy' = 0 é y(x) = C , onde C é uma constante qualquer.

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