Calcule o limite: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3(1-\cos (x))}{x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0} \frac{3\bigl(1-\cos(x)\bigr)}{x}.
Esse é um problema de limite que gera a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Vamos usar a regra de L’Hôpital, que diz que, em casos de 0/0, podemos derivar numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos a indeterminação substituindo x=0:
\text{numerador} = 3\bigl(1-\cos(0)\bigr)=3(1-1)=0, \quad \text{denominador}=0,
logo temos 0/0.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl[\,3(1-\cos(x))\bigr]=3\sin(x), \quad \frac{d}{dx}[\,x\,]=1.
Portanto
\lim_{x\to0}\frac{3(1-\cos(x))}{x} =\lim_{x\to0}\frac{3\sin(x)}{1} =3\lim_{x\to0}\sin(x).

Passo 4

Sabendo que \displaystyle \lim_{x\to0}\sin(x)=0, obtemos
3\lim_{x\to0}\sin(x)=3\cdot0=0.

Resposta

O valor do limite é 0.

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