Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (1+x)-x+\frac{x^{2}}{2}}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(1+x)-x+\tfrac{x^{2}}{2}}{x^{3}}
O conteúdo principal aqui é usar a expansão em série de Taylor de \ln(1+x) em torno de x=0 até a ordem x^{3}.

Passo 2

A expansão em série de Taylor de \ln(1+x) para |x|<1 é
\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+O(x^{4}).

Passo 3

Substituindo na expressão do numerador temos
\ln(1+x)-x+\frac{x^{2}}{2} =\Bigl(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+O(x^{4})\Bigr)-x+\frac{x^{2}}{2} =\frac{x^{3}}{3}+O(x^{4}).

Passo 4

Logo,
\frac{\ln(1+x)-x+\tfrac{x^{2}}{2}}{x^{3}} =\frac{\tfrac{x^{3}}{3}+O(x^{4})}{x^{3}} =\frac{1}{3}+O(x)
e, ao fazermos x\to0^{+}, o limite vale \tfrac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

Exercícios relacionados