Questão 3. Utilizando o método de VARIAÇÃO DE PARÂMETROS, ache a solução geral:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=\left(t^{2}+1\right) e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
y'' - 4y' + 4y = (t^2+1)e^{2t}
usando o método de variação de parâmetros. Para isso, vamos precisar:
1) achar a solução geral da homogênea, 2) calcular a Wrónskiana, 3) obter as fórmulas para u_1' e u_2', 4) integrar para achar u_1 e u_2, 5) montar a solução particular e, por fim, 6) escrever a solução geral.

Passo 2

Começamos pela homogênea
y'' - 4y' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 - 4r + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; (r - 2)^2 = 0,
com raiz dupla r=2. Logo uma base de soluções é
y_1(t) = e^{2t}, \quad y_2(t) = t\,e^{2t}.

Passo 3

Calculamos a Wrónskiana
W(t) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = e^{2t}\cdot\bigl((1+2t)e^{2t}\bigr)\;-\;2e^{2t}\cdot\bigl(te^{2t}\bigr) = e^{4t}.

Passo 4

Aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros com g(t)=(t^2+1)e^{2t}:
u_1' = -\frac{y_2\,g(t)}{W} = -\frac{t e^{2t}\,(t^2+1)e^{2t}}{e^{4t}} = -\,t\,(t^2+1),
u_2' = \frac{y_1\,g(t)}{W} = \frac{e^{2t}\,(t^2+1)e^{2t}}{e^{4t}} = t^2 + 1.

Passo 5

Integramos para obter u_1 e u_2:
u_1 = \int -t\,(t^2+1)\,dt = -\frac{t^4}{4} \;-\;\frac{t^2}{2},
u_2 = \int (t^2+1)\,dt = \frac{t^3}{3} \;+\; t.

Passo 6

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \Bigl(-\tfrac{t^4}{4} - \tfrac{t^2}{2}\Bigr)e^{2t} \;+\;\Bigl(\tfrac{t^3}{3}+t\Bigr)\,t\,e^{2t}.
Agrupando termos em t^4 e t^2, obtemos
y_p = \Bigl(\tfrac{1}{12}t^4 + \tfrac{1}{2}t^2\Bigr)e^{2t}.

Passo 7

A solução geral da equação não homogênea é
y(t) = y_c(t) + y_p(t) = C_1\,e^{2t} + C_2\,t\,e^{2t} + \Bigl(\tfrac{1}{12}t^4 + \tfrac{1}{2}t^2\Bigr)e^{2t}.

Resposta

y(t) = \Bigl(C_1 + C_2\,t + \tfrac12\,t^2 + \tfrac{1}{12}\,t^4\Bigr)\,e^{2t}.

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