Questão 2. Ache a solução geral da equação de Euler abaixo:
t^{2} y^{\prime \prime}+7 t y^{\prime}+13 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Euler para y(t):
t^{2}y'' + 7t\,y' + 13y = 0.
O conteúdo aqui é equação de Cauchy–Euler, e vamos usar o método de tentar uma solução do tipo y=t^r para obter uma equação auxiliar em r.

Passo 2

Supondo
y = t^r,
então
y' = r\,t^{r-1},\quad y''=r(r-1)\,t^{r-2}.

Passo 3

Substituindo em t^{2}y'' + 7t\,y' + 13y=0 vem
t^{2}\bigl[r(r-1)t^{r-2}\bigr] + 7t\bigl[r\,t^{r-1}\bigr] + 13\,t^r = 0
que, dividindo por t^r\neq0, dá a equação característica
r(r-1)+7r+13=0.

Passo 4

Expandindo e coletando termos temos
r^2 - r + 7r +13 = r^2 +6r +13 = 0.
O discriminante é \Delta = 6^2 - 4\cdot1\cdot13 = 36 -52 = -16, logo
r = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = -3 \pm 2\,i.

Passo 5

Para raízes complexas r=\alpha\pm i\beta a solução geral é
y(t) = t^{\alpha}\bigl(C_{1}\cos(\beta\ln t)+C_{2}\sin(\beta\ln t)\bigr).
Aqui \alpha=-3 e \beta=2.

Resposta

y(t) = t^{-3}\bigl(C_{1}\cos(2\ln t)+C_{2}\sin(2\ln t)\bigr).

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