Calcule os seguintes limites usando L’Hôpital, se necessário:
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{2}+1}{x^{2}-4 x+3}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{x\to1^{+}}\frac{x^{2}+1}{x^{2}-4x+3}.
Estamos lidando com o comportamento de uma função racional perto de um ponto em que o denominador zera. Vamos usar a análise de limites (e L’Hôpital se fosse indeterminado) para decidir se a expressão tende a um valor finito ou a \pm\infty.

Passo 2

Calculemos separadamente as partes:
O numerador satisfaz
\lim_{x\to1}(x^{2}+1)=1^{2}+1=2\,,
enquanto o denominador satisfaz
\lim_{x\to1}(x^{2}-4x+3)=1-4+3=0.
Como o numerador tende a um valor não nulo e o denominador tende a zero, não temos forma indeterminada do tipo 0/0. Isso indica que o limite será infinito (positivo ou negativo), sem necessidade de L’Hôpital.

Passo 3

Para saber o sinal do infinito, fatoramos o denominador:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Quando x\to1^{+}, temos x-1>0 (pequeno positivo) e x-3<0 (aproximadamente -2). Logo o produto (x-1)(x-3) é negativo e tende a zero por valores negativos.

Passo 4

O numerador tende a 2>0 e o denominador tende a 0^{-}. Dessa forma,
\frac{x^{2}+1}{x^{2}-4x+3}\to\frac{2}{0^{-}}=-\infty.

Resposta

-\infty

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