Calcule os seguintes limites usando L’Hôpital, se necessário:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
Estamos lidando com o comportamento de uma função racional perto de um ponto em que o denominador zera. Vamos usar a análise de limites (e L’Hôpital se fosse indeterminado) para decidir se a expressão tende a um valor finito ou a
.
Passo 2
Calculemos separadamente as partes:
O numerador satisfaz
O numerador satisfaz
enquanto o denominador satisfaz
Como o numerador tende a um valor não nulo e o denominador tende a zero, não temos forma indeterminada do tipo
. Isso indica que o limite será infinito (positivo ou negativo), sem necessidade de L’Hôpital.
Passo 3
Para saber o sinal do infinito, fatoramos o denominador:
Quando
, temos
(pequeno positivo) e
(aproximadamente
). Logo o produto
é negativo e tende a zero por valores negativos.
Passo 4
O numerador tende a
e o denominador tende a
. Dessa forma,