Calcule o limite:

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtopi2tan(x)
O conteúdo envolvido é análise de limites de funções trigonométricas, e vamos usar a identidade
tan(x)=sin(x)cos(x)
e o comportamento de sin(x) e cos(x) quando x se aproxima de pi/2.

Passo 2

Reescrevemos
tan(x)=sin(x)cos(x)
Quando xtopi2, sabemos que
sin!l(tfracpi2r)=1 e cos!l(tfracpi2r)=0
Logo o numerador tende a 1 e o denominador tende a 0, o que indica divergência (crescimento sem limite em módulo).

Passo 3

Para distinguir o sinal dessa divergência, analisamos as duas aproximações laterais:
Quando xtopi2^-, temos cos(x)>0 e muito pequeno, de modo que
tan(x)=sin(x)cos(x)to+infty

Passo 4

Quando xtopi2^+, temos cos(x)<0 e muito pequeno em valor absoluto, de modo que
tan(x)=sin(x)cos(x)to-infty

Passo 5

Como
limxtopi2^-tan(x)=+infty e limxtopi2^+tan(x)=-infty,
as duas “metades” não coincidem, então a limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois a função diverge para +infty pela esquerda e para -infty pela direita.

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