A fim de investir, visando o futuro, quanto devo disponibilizar, mensalmente, a taxa de 1 % ao mês, continuamente, para, dentro de 15 anos, ser um milionário, isto é, obter um milhão de reais?

Passo 1

O enunciado pede o valor da prestação mensal P que, investida durante 15 anos com taxa de juros de 1% ao mês, composta continuamente, acumula exatamente R$ 1,000,000 ao final. O conteúdo aqui é matemática financeira: valor futuro de uma série uniforme de pagamentos mensais em regime de capitalização contínua.

Passo 2

Considere n=15times12=180 pagamentos mensais, cada um de valor P, feitos ao final de cada mês k=1,2,dots,180. Como a taxa de juros contínua é i=1%=0,01 por mês, o valor futuro de um pagamento feito no mês k acumulado até o mês 180 é
P;e^,i(180-k)
Somando para todos os k, o valor futuro total FV é
FV = sumk=1^180P,e^,i(180-k) = Psumj=0^179e^,i,j

Passo 3

A soma da progressão geométrica é
sumj=0^179e^,i,j =e^,icdot180-1e^,i-1
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FV = P;e^,icdot180-1e^,i-1

Passo 4

Para que FV=1,000,000, basta resolver
1,000,000 = P;e^,0,01cdot180-1e^,0,01-1 Longrightarrow P = 1,000,000;e^,0,01-1e^,1,8-1

Passo 5

Calculemos numericamente:
e^0,01-1approx0,01005017, e^1,8-1approx5,04964746,
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P approx 1,000,000;0,010050175,04964746 approx1,990,04

Resposta

Você deve depositar aproximadamente R$ 1,990,04 todo mês.

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