O valor de \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{1}{x}-x}{x+1}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\frac1x - x}{x+1}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limite e usaremos simplificação algébrica para resolver.

Passo 2

Reescrevemos o numerador como uma única fração:
\frac1x - x = \frac{1 - x^2}{x}.
Logo a expressão original fica
\frac{\frac{1 - x^2}{x}}{x+1} = \frac{1 - x^2}{x\,(x+1)}.

Passo 3

Fatoramos 1 - x^2 como produto notável:
1 - x^2 = (1 - x)(1 + x).
Assim,
\frac{1 - x^2}{x\,(x+1)} = \frac{(1 - x)(1 + x)}{x\,(x+1)} = \frac{1 - x}{x},
pois o fator (1 + x) cancela.

Passo 4

A função simplificada \frac{1 - x}{x} é contínua em x=1, então basta substituir:
\lim_{x\to1}\frac{1 - x}{x} = \frac{1 - 1}{1} = 0.

Resposta

0

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