Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-2 x-1}{\cos (x)-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-2x-1}{\cos(x)-1}.
O conteúdo principal aqui é o desenvolvimento em série de Taylor (Maclaurin) de e^{2x} e \cos(x) em torno de x=0.

Passo 2

Expandimos e^{2x} em série de Taylor até a ordem x^3:
e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + O(x^4) = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + O(x^4).
Subtraindo 2x+1, o numerador fica
e^{2x}-2x-1 = 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + O(x^4).

Passo 3

Agora expandimos \cos(x) em Taylor até a ordem x^4:
\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6).
Logo, o denominador é
\cos(x)-1 = -\frac{x^2}{2} + O(x^4).

Passo 4

Formamos o quociente usando essas expansões:
\frac{e^{2x}-2x-1}{\cos(x)-1} = \frac{2x^2 + \tfrac{4}{3}x^3 + O(x^4)}{-\tfrac{x^2}{2} + O(x^4)} = \frac{x^2\bigl(2 + \tfrac{4}{3}x + O(x^2)\bigr)}{x^2\bigl(-\tfrac12 + O(x^2)\bigr)} = \frac{2 + \tfrac{4}{3}x + O(x^2)}{-\tfrac12 + O(x^2)}.
Quando x \to 0, isso tende a
\frac{2}{-\tfrac12} = -4.

Resposta

-4

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