Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(x^{3}+2\right)}{\sqrt[3]{x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\bigl(x^{3}+2\bigr)}{\sqrt[3]{x^{2}}}.
Este limite envolve comparação de crescimento entre função logarítmica e função polinomial; vamos usar propriedades de logaritmo e comportamento assintótico.

Passo 2

Reescrevemos o numerador usando \ln(ab)=\ln a+\ln b:
\ln\bigl(x^{3}+2\bigr) =\ln\Bigl(x^{3}\bigl(1+\tfrac{2}{x^{3}}\bigr)\Bigr) =3\ln(x)+\ln\Bigl(1+\tfrac{2}{x^{3}}\Bigr).

Passo 3

Quando x\to+\infty, temos
\ln\bigl(1+\tfrac{2}{x^{3}}\bigr)\to0,
portanto o numerador se comporta como
3\ln(x)+o(1).

Passo 4

O denominador simplifica-se a
\sqrt[3]{x^{2}}=x^{2/3}.

Passo 5

Substituindo no quociente:
\frac{\ln(x^{3}+2)}{\sqrt[3]{x^{2}}} =\frac{3\ln(x)+o(1)}{x^{2/3}} =\frac{3\ln(x)}{x^{2/3}}+\frac{o(1)}{x^{2/3}}.
Como para qualquer \alpha>0 vale
\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{\alpha}}=0,
aqui com \alpha=\tfrac{2}{3} concluímos que o quociente tende a zero.

Resposta

0

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