Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{2} \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to0^{+}} x^{2}\ln(x).
Aqui vemos um produto em que x^{2}\to0 e \ln(x)\to-\infty, gerando a forma indeterminada 0\cdot(-\infty). Vamos reescrever para usar o Teorema de L’Hôpital.

Passo 2

Reescrevemos
x^{2}\ln(x) = \frac{\ln(x)}{1/x^{2}}.
Quando x\to0^{+}, o numerador \ln(x)\to-\infty e o denominador 1/x^{2}\to+\infty, dando a forma \tfrac{-\infty}{+\infty}. Aplicamos L’Hôpital diferenciando numerador e denominador em relação a x:
\frac{d}{dx}[\ln(x)]=\frac1x, \qquad \frac{d}{dx}\bigl[1/x^{2}\bigr] =\frac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^{3}}.
Portanto, pelo Teorema de L’Hôpital,
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(x)}{1/x^{2}} = \lim_{x\to0^{+}} \frac{\tfrac1x}{-\tfrac{2}{x^{3}}} = \lim_{x\to0^{+}} \biggl(\frac1x\cdot\Bigl(-\frac{x^{3}}{2}\Bigr)\biggr) = \lim_{x\to0^{+}} \Bigl(-\frac{x^{2}}{2}\Bigr).

Passo 3

Como -\tfrac{x^{2}}{2}\to0 quando x\to0^{+}, concluímos que
\lim_{x\to0^{+}}x^{2}\ln(x)=0.

Resposta

0

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