- Determinar a equação da elipse de focos
e
e eixo focal medindo 6 .
Passo 1
O enunciado pede a equação da elipse cujos focos são
e cujo eixo maior (eixo focal) tem comprimento
.
Para resolver, vamos usar a definição da elipse como o lugar geométrico dos pontos tais que a soma das distâncias a
e a
é constante e igual a
. Também precisaremos calcular o centro, o semi‐distância focal
, e o semi‐eixo menor
. Finalmente, obteremos a equação em coordenadas
via rotação de eixos.
Para resolver, vamos usar a definição da elipse como o lugar geométrico dos pontos
Passo 2
Calcular o centro
, o valor de
e de
.
O centro é o ponto médio de e
:
O centro é o ponto médio de
A distância entre os focos é
que corresponde a
. Logo
O semi‐eixo menor vem de
Passo 3
Determinar o ângulo de rotação
que alinha o eixo maior à direção de
.
O vetor é
O vetor
cuja norma é
. Então
Passo 4
Escrever a elipse em eixos
girados de ângulo
e centrados em
.
Em coordenadas canônicas (eixo maior ao longo de
), a equação é
Em coordenadas
A relação com
é
isto é,
Passo 5
Substituir
e
na forma canônica para obter a equação em
.