1. Determinar a equação da elipse de focos (1,-1) e (4,3) e eixo focal medindo 6 .

Passo 1

O enunciado pede a equação da elipse cujos focos são
F_1=(1,-1),\quad F_2=(4,3)
e cujo eixo maior (eixo focal) tem comprimento 2a=6.
Para resolver, vamos usar a definição da elipse como o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais que a soma das distâncias a F_1 e a F_2 é constante e igual a 2a. Também precisaremos calcular o centro, o semi‐distância focal c, e o semi‐eixo menor b. Finalmente, obteremos a equação em coordenadas (x,y) via rotação de eixos.

Passo 2

Calcular o centro C, o valor de c e de b.
O centro é o ponto médio de F_1 e F_2:
C\;=\;\Bigl(\tfrac{1+4}{2},\,\tfrac{-1+3}{2}\Bigr)\;=\;(2{,}5,\;1).
A distância entre os focos é
\|F_2-F_1\|\;=\;\sqrt{(4-1)^2+(3+1)^2}\;=\;5,
que corresponde a 2c. Logo
c=\tfrac{5}{2}=2{,}5,\quad a=3.
O semi‐eixo menor vem de
b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{9-\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^2} =\sqrt{9-6{,}25}=\sqrt{2{,}75}=\frac{\sqrt{11}}{2}.

Passo 3

Determinar o ângulo de rotação \varphi que alinha o eixo maior à direção de F_1F_2.
O vetor F_2-C é
(4-2{,}5,\;3-1)=(1{,}5,\;2),
cuja norma é 2{,}5. Então
\cos\varphi=\frac{1{,}5}{2{,}5}=\frac{3}{5},\qquad \sin\varphi=\frac{2}{2{,}5}=\frac{4}{5}.

Passo 4

Escrever a elipse em eixos (X,Y) girados de ângulo \varphi e centrados em C.
Em coordenadas (X,Y) canônicas (eixo maior ao longo de X), a equação é
\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1.
A relação com (x,y) é
\begin{cases} X \;=\;(x-2{,}5)\cos\varphi+(y-1)\sin\varphi,\\[6pt] Y \;=\;-(x-2{,}5)\sin\varphi+(y-1)\cos\varphi, \end{cases}
isto é,
\begin{cases} X=\tfrac{3}{5}(x-2{,}5)+\tfrac{4}{5}(y-1),\\[4pt] Y=-\tfrac{4}{5}(x-2{,}5)+\tfrac{3}{5}(y-1). \end{cases}]

Passo 5

Substituir X e Y na forma canônica para obter a equação em (x,y).
\frac{\bigl(\tfrac{3}{5}(x-2{,}5)+\tfrac{4}{5}(y-1)\bigr)^{2}}{3^{2}} +\frac{\bigl(-\tfrac{4}{5}(x-2{,}5)+\tfrac{3}{5}(y-1)\bigr)^{2}}{\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}\bigr)^{2}} =1.

Resposta

\frac{\bigl(\tfrac{3}{5}(x-2{,}5)+\tfrac{4}{5}(y-1)\bigr)^{2}}{9} +\frac{\bigl(-\tfrac{4}{5}(x-2{,}5)+\tfrac{3}{5}(y-1)\bigr)^{2}}{\tfrac{11}{4}} =1.

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