1. Determinar a equação de parábola de \operatorname{foco}(-1,1) e reta diretriz y=2 x-1.

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola cujo foco é (-1,1) e cuja reta diretriz é y=2x-1. Esse problema usa a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Para resolver, vamos:
  1. Denotar um ponto genérico da parábola por (x,y).
  2. Escrever a condição “distância de (x,y) ao foco = distância de (x,y) à reta diretriz”.
  3. Desenvolver essa equação e simplificar até obter a forma implícita da curva.

Passo 2

A distância de (x,y) ao foco F(-1,1) é
\sqrt{(x-(-1))^2 + (y-1)^2} = \sqrt{(x+1)^2 + (y-1)^2}.
A reta diretriz y = 2x - 1 pode ser escrita na forma
2x - y - 1 = 0,
cuja distância de (x,y) a essa reta é
\frac{\bigl|2x - y - 1\bigr|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{\bigl|2x - y - 1\bigr|}{\sqrt{5}}.
Igualando as distâncias (e eliminando o valor absoluto ao quadrado), temos
(x+1)^2 + (y-1)^2 = \Bigl(\tfrac{2x - y - 1}{\sqrt5}\Bigr)^{2} = \frac{(2x - y - 1)^2}{5}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 5, obtemos
5\bigl[(x+1)^2 + (y-1)^2\bigr] = (2x - y - 1)^2.
Agora expandimos cada termo:
5(x+1)^2 = 5(x^2 + 2x + 1) = 5x^2 + 10x + 5,
5(y-1)^2 = 5(y^2 - 2y + 1) = 5y^2 - 10y + 5,
(2x - y - 1)^2 = 4x^2 + y^2 + 1 - 4xy - 4x + 2y.

Passo 4

Somando os termos da esquerda e igualando aos da direita:
esquerda:
5x^2 + 10x + 5 \;+\; 5y^2 - 10y + 5 = 5x^2 + 5y^2 + 10x - 10y + 10,
direita:
4x^2 + y^2 + 1 - 4xy - 4x + 2y.
Trazendo tudo para um lado e recolhendo termos semelhantes, dá
5x^2 + 5y^2 + 10x - 10y + 10 \;-\;(4x^2 + y^2 + 1 - 4xy - 4x + 2y) =0,
(x^2) + (4y^2) + 4xy + (14x) - (12y) + 9 = 0.

Resposta

x^2 + 4xy + 4y^2 + 14x - 12y + 9 = 0.

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