Calcule o limite:
.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - Ao substituir
diretamente, obtemos , logo o numerador vale e o denominador vale . Portanto a forma é , uma indeterminação — precisamos transformar a expressão para calcular o limite.
Passo 2
Vou usar um resultado fundamental e muito útil para limites envolvendo seno: o limite
Explicando isso de forma simples: para
muito pequeno,
se comporta aproximadamente como
(em radianos). Formalmente, isso pode ser justificado pelo teorema do confronto (squeeze) ou por desenvolvimento em série, mas aqui basta saber que é um limite padrão que sempre usamos em problemas com
e
tendendo a zero. A partir dele, para qualquer constante
temos
basta fazer a substituição
.
Passo 3
Agora vamos manipular a expressão original para aproveitar esse limite padrão. Primeiro fatoramos
em numerador e denominador, escrevendo
e
de modo a aparecer a forma
.
Escrevemos o numerador como:
Mas é mais conveniente colocar a razão na forma
. Para isso, note que
portanto
Passo 4
De modo análogo, manipulamos o denominador. Começamos com
E escrevemos
. Assim
Passo 5
Agora colocamos as duas expressões juntas na razão original. Cancelando o fator comum
(note que para
isso é válido; estamos considerando
, não
), obtemos
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
. Usamos o fato do Passo 2:
e
. Aplicando esses limites na expressão do Passo 5: