Calcule o limite: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\operatorname{sen}(2 x)}{x+\operatorname{sen}(3 x)}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x-\operatorname{sen}(2x)}{x+\operatorname{sen}(3x)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função no numerador é x-\operatorname{sen}(2x).
  • A função no denominador é x+\operatorname{sen}(3x).
  • Ao substituir x=0 diretamente, obtemos \operatorname{sen}(0)=0, logo o numerador vale 0 e o denominador vale 0. Portanto a forma é 0/0, uma indeterminação — precisamos transformar a expressão para calcular o limite.

Passo 2

Vou usar um resultado fundamental e muito útil para limites envolvendo seno: o limite
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
Explicando isso de forma simples: para t muito pequeno, \operatorname{sen}(t) se comporta aproximadamente como t (em radianos). Formalmente, isso pode ser justificado pelo teorema do confronto (squeeze) ou por desenvolvimento em série, mas aqui basta saber que é um limite padrão que sempre usamos em problemas com \operatorname{sen} e t tendendo a zero. A partir dele, para qualquer constante k temos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(kx)}{kx}=1,
basta fazer a substituição t=kx.

Passo 3

Agora vamos manipular a expressão original para aproveitar esse limite padrão. Primeiro fatoramos x em numerador e denominador, escrevendo \operatorname{sen}(2x) e \operatorname{sen}(3x) de modo a aparecer a forma \operatorname{sen}(\cdot)/(\cdot).
Escrevemos o numerador como:
x-\operatorname{sen}(2x)=x\left(1-\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x}\right).
Mas é mais conveniente colocar a razão na forma \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}. Para isso, note que
\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x}=2\cdot\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x},
portanto
x-\operatorname{sen}(2x)=x\left(1-2\cdot\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}\right).

Passo 4

De modo análogo, manipulamos o denominador. Começamos com
x+\operatorname{sen}(3x)=x\left(1+\frac{\operatorname{sen}(3x)}{x}\right).
E escrevemos \frac{\operatorname{sen}(3x)}{x}=3\cdot\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}. Assim
x+\operatorname{sen}(3x)=x\left(1+3\cdot\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}\right).

Passo 5

Agora colocamos as duas expressões juntas na razão original. Cancelando o fator comum x (note que para x\neq 0 isso é válido; estamos considerando x\to 0, não x=0), obtemos
\frac{x-\operatorname{sen}(2x)}{x+\operatorname{sen}(3x)} = \frac{1-2\cdot\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}}{1+3\cdot\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}}.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando x\to 0. Usamos o fato do Passo 2: \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}=1 e \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}=1. Aplicando esses limites na expressão do Passo 5:
\lim_{x\to 0}\frac{x-\operatorname{sen}(2x)}{x+\operatorname{sen}(3x)} = \frac{1-2\cdot 1}{1+3\cdot 1} = \frac{1-2}{1+3} = \frac{-1}{4}.

Resposta

-\dfrac{1}{4}

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