Informações dadas: a expressão é uma fração cujo numerador é o polinômio \,x^{3}-7x^{2}+13x-15 e o denominador é \,x-5. O ponto de interesse para o limite é x\to 5.
Passo 2
Primeiro passo prático: tentar substituir x=5 diretamente na expressão para ver se a fração já tem valor definido. Vou calcular o numerador e o denominador separadamente ao substituir x=5.
Como ao substituir x=5 o numerador dá 0 e o denominador dá 0, a forma é 0/0. Isso é chamado de forma indeterminada: o limite pode existir e ser finito, infinito ou não existir, então não podemos concluir só pela substituição. Precisamos manipular a expressão algebraicamente para remover a indeterminação.
Passo 3
Uma técnica simples para esse tipo de indeterminação é fatorar o numerador e verificar se ele tem o fator (x-5), que é o denominador. Se tiver, podemos cancelar e então avaliar o limite.
Vou fatorar o polinômio \,x^{3}-7x^{2}+13x-15 dividindo-o por (x-5). Uso a divisão sintética (método rápido para dividir por (x-c)) com c=5.
Escrevo os coeficientes do polinômio: 1 (de x^3), -7 (de x^2), 13 (de x), -15 (termo constante).
Aplicando a divisão sintética com 5:
Trago o 1 para baixo (primeiro coeficiente do quociente).
Multiplico 5\cdot 1 = 5 e somo ao próximo coeficiente: -7 + 5 = -2.
Multiplico 5\cdot(-2) = -10 e somo ao próximo coeficiente: 13 + (-10) = 3.
Multiplico 5\cdot 3 = 15 e somo ao último coeficiente: -15 + 15 = 0 (resto).
O resto zero confirma que (x-5) divide o polinômio. Os coeficientes do quociente são 1, -2, 3, ou seja o quociente é o polinômio quadrático x^{2}-2x+3.
Portanto podemos escrever a fatoração:
x^{3}-7x^{2}+13x-15 = (x-5)(x^{2}-2x+3).
Passo 4
Agora substituímos essa fatoração na expressão do limite e simplificamos:
Como estamos interessados no limite quando x se aproxima de 5 (e não exatamente no valor da função em x=5), podemos cancelar o fator comum (x-5) para x\neq 5. Assim, para x próximo de 5 temos
\frac{x^{3}-7x^{2}+13x-15}{x-5} = x^{2}-2x+3.
Agora o limite reduz-se a avaliar o polinômio simplificado em x=5. Polinômios são funções contínuas, então o limite ao se aproximar de 5 é o próprio valor no ponto:
Cheque rápido por outro método (opcional, para garantir): podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se temos forma 0/0 e as derivadas existem, então
Força aí — deu certo! Você viu como reconhecer a indeterminação, usar fatoração (divisão sintética) e avaliar o resultado. Na prova, esse tipo de limite costuma ser resolvido rapidamente com fatoração quando o numerador é um polinômio.