m) \lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{3}-7 x^{2}+13 x-15}{x-5}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 5} \frac{x^{3}-7x^{2}+13x-15}{x-5}.
Informações dadas: a expressão é uma fração cujo numerador é o polinômio \,x^{3}-7x^{2}+13x-15 e o denominador é \,x-5. O ponto de interesse para o limite é x\to 5.

Passo 2

Primeiro passo prático: tentar substituir x=5 diretamente na expressão para ver se a fração já tem valor definido. Vou calcular o numerador e o denominador separadamente ao substituir x=5.
Calcular o denominador:
5-5 = 0.
Calcular o numerador:
5^{3}-7\cdot 5^{2}+13\cdot 5-15 = 125 - 7\cdot25 + 65 - 15.
Calcule cada termo:
7\cdot25 = 175,
portanto
125 - 175 + 65 - 15 = (125-175) + (65-15) = -50 + 50 = 0.
Como ao substituir x=5 o numerador dá 0 e o denominador dá 0, a forma é 0/0. Isso é chamado de forma indeterminada: o limite pode existir e ser finito, infinito ou não existir, então não podemos concluir só pela substituição. Precisamos manipular a expressão algebraicamente para remover a indeterminação.

Passo 3

Uma técnica simples para esse tipo de indeterminação é fatorar o numerador e verificar se ele tem o fator (x-5), que é o denominador. Se tiver, podemos cancelar e então avaliar o limite.
Vou fatorar o polinômio \,x^{3}-7x^{2}+13x-15 dividindo-o por (x-5). Uso a divisão sintética (método rápido para dividir por (x-c)) com c=5.
Escrevo os coeficientes do polinômio: 1 (de x^3), -7 (de x^2), 13 (de x), -15 (termo constante).
Aplicando a divisão sintética com 5:
  • Trago o 1 para baixo (primeiro coeficiente do quociente).
  • Multiplico 5\cdot 1 = 5 e somo ao próximo coeficiente: -7 + 5 = -2.
  • Multiplico 5\cdot(-2) = -10 e somo ao próximo coeficiente: 13 + (-10) = 3.
  • Multiplico 5\cdot 3 = 15 e somo ao último coeficiente: -15 + 15 = 0 (resto).
O resto zero confirma que (x-5) divide o polinômio. Os coeficientes do quociente são 1, -2, 3, ou seja o quociente é o polinômio quadrático x^{2}-2x+3.
Portanto podemos escrever a fatoração:
x^{3}-7x^{2}+13x-15 = (x-5)(x^{2}-2x+3).

Passo 4

Agora substituímos essa fatoração na expressão do limite e simplificamos:
\frac{x^{3}-7x^{2}+13x-15}{x-5} = \frac{(x-5)(x^{2}-2x+3)}{x-5}.
Como estamos interessados no limite quando x se aproxima de 5 (e não exatamente no valor da função em x=5), podemos cancelar o fator comum (x-5) para x\neq 5. Assim, para x próximo de 5 temos
\frac{x^{3}-7x^{2}+13x-15}{x-5} = x^{2}-2x+3.
Agora o limite reduz-se a avaliar o polinômio simplificado em x=5. Polinômios são funções contínuas, então o limite ao se aproximar de 5 é o próprio valor no ponto:
\lim_{x\rightarrow 5} \frac{x^{3}-7x^{2}+13x-15}{x-5} = \left. x^{2}-2x+3 \right|_{x=5}.
Calcule:
5^{2}-2\cdot 5 + 3 = 25 - 10 + 3 = 18.
Portanto o limite existe e vale 18.

Passo 5

Cheque rápido por outro método (opcional, para garantir): podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se temos forma 0/0 e as derivadas existem, então
\lim_{x\to 5} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 5} \frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite do lado direito existir. Aqui f(x)=x^{3}-7x^{2}+13x-15 e g(x)=x-5. Suas derivadas são
f'(x)=3x^{2}-14x+13,\qquad g'(x)=1.
Logo
\lim_{x\to5}\frac{f'(x)}{g'(x)} = 3\cdot5^{2}-14\cdot5+13 = 75 -70 +13 = 18,
mesmo resultado, ótimo sinal de consistência.
Força aí — deu certo! Você viu como reconhecer a indeterminação, usar fatoração (divisão sintética) e avaliar o resultado. Na prova, esse tipo de limite costuma ser resolvido rapidamente com fatoração quando o numerador é um polinômio.

Resposta

18

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