O valor do limite \lim _{u \rightarrow-2} \frac{u^{3}+4 u^{2}+4 u}{(u-2)(u-3)} é:

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{u\to -2} \frac{u^{3}+4u^{2}+4u}{(u-2)(u-3)}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio \;u^{3}+4u^{2}+4u\;.
  • O denominador é o produto \;(u-2)(u-3)\;.
  • Estamos interessados no comportamento da expressão quando u se aproxima de -2.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): uma função racional — isto é, uma fração onde numerador e denominador são polinômios — é contínua em todos os pontos em que o denominador é diferente de zero. Para um ponto a tal que o denominador não se anula em a, vale
\lim_{u\to a}\frac{\text{polinômio}(u)}{\text{polinômio}(u)}=\frac{\text{polinômio}(a)}{\text{polinômio}(a)},ôôôô
ou seja, basta substituir u=a. Aqui, precisamos verificar se o denominador se anula em u=-2.

Passo 3

Calcule o denominador em u=-2:
(u-2)(u-3)\Big|_{u=-2}=(-2-2)(-2-3)=(-4)(-5)=20.
Como 20\neq 0, o denominador não se anula em u=-2. Portanto a função é contínua em u=-2 e o limite é obtido pela substituição direta.

Passo 4

Calcule o numerador em u=-2 passo a passo:
u^{3}\Big|_{u=-2}=(-2)^{3}=-8,
4u^{2}\Big|_{u=-2}=4\cdot(-2)^{2}=4\cdot 4=16,
4u\Big|_{u=-2}=4\cdot(-2)=-8.
Somando os termos:
-8+16-8=0.
Observação adicional (útil na prova): o numerador pode ser fatorado como
u^{3}+4u^{2}+4u = u\,(u^{2}+4u+4)=u\,(u+2)^{2},
o que mostra que o numerador tem raiz em u=-2 (com multiplicidade 2), mas isso não é necessário aqui porque o denominador não zera em -2.

Passo 5

Agora a fração no ponto u=-2 é
\frac{0}{20}=0.
Conclusão: o limite existe e vale 0. (Lembre-se: zero dividido por número não nulo é zero.)

Resposta

0

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