Um museu em Curitiba-PR precisa manter suas obras de arte em um ambiente estável. Durante o inverno, o sistema de aquecimento eleva a temperatura, mas reduz drasticamente a umidade relativa, colocando as obras (principalmente de madeira e tela) em risco.
  • Condições Externas (Inverno): TBS =8^{\circ} \mathrm{C} ; \mathrm{UR}=85 \%.
  • Condições Internas (sem umidificação): \mathrm{TBS}=22^{\circ} \mathrm{C} ; \mathrm{UR}=25 \%.
  • Condições Internas de Projeto: Manter TBS =22^{\circ} \mathrm{C} e UR =50 \%.
  • Volume do Salão de Exposição: 1.500 \mathrm{~m}^{3}.
  • Taxa de Renovação de Ar: 1,0 renovação por hora.
    a) Na carta psicrométrica, encontre a umidade específica do ar interno atual (a 25% UR) e do ar interno desejado (a 50% UR).
    b) Calcule a vazão de ar de renovação que entra no salão (em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h} ).
    c) Considerando apenas a necessidade de umidificar o ar de renovação (que entra e é aquecido para 22^{\circ} \mathrm{C} ), calcule a quantidade de vapor de água (em \mathrm{kg} / \mathrm{h} ) que um umidificador precisa adicionar ao ar para elevar sua umidade de 25 \% para 50 \%.
    d) O processo de umidificação com vapor é aproximadamente um processo a temperatura de bulbo seco constante. Esboce o processo completo na carta psicrométrica: (1) ar externo, (2) ar externo aquecido para 22^{\circ} \mathrm{C} e (3) ar umidificado.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas e nos dá vários dados. Vou listar explicitamente o que é pedido e o que temos:
O que o enunciado pergunta:
  • a) Encontrar a umidade específica do ar interno atual (UR = 25% a 22^\circ\mathrm{C}) e do ar interno desejado (UR = 50% a 22^\circ\mathrm{C}).
  • b) Calcular a vazão volumétrica de ar de renovação que entra no salão (em \mathrm{m}^3/\mathrm{h}).
  • c) Considerando que o ar de renovação entra e é aquecido para 22^\circ\mathrm{C}, calcular a massa de vapor que o umidificador deve adicionar (em \mathrm{kg}/\mathrm{h}) para elevar a umidade relativa de 25\% para 50\% (ambas a 22^\circ\mathrm{C}).
  • d) Esboçar na carta psicrométrica o processo: (1) ar externo, (2) ar externo aquecido para 22^\circ\mathrm{C}, (3) ar umidificado (aquecimento é sem troca de vapor, umidificação a temperatura constante).
Dados fornecidos (copiando do enunciado):
  • Condições externas: T_{bs,\text{ext}}=8^\circ\mathrm{C}; \mathrm{UR}_{\text{ext}}=85\%.
  • Condições internas sem umidificação: T_{bs,\text{int}}=22^\circ\mathrm{C}; \mathrm{UR}_{\text{int}}=25\%.
  • Condições internas de projeto: T_{bs}=22^\circ\mathrm{C}; \mathrm{UR}=50\%.
  • Volume do salão: V=1500\\ \mathrm{m}^3.
  • Taxa de renovação: 1{,}0\\ \text{renovações por hora}çõ.
  • Pressão atmosférica (assumida): p_{atm}=101325\\ \mathrm{Pa} (valor padrão).
Observação: a resolução fará suposições padrão quando necessárias (por exemplo, pressão atmosférica padrão). Não foi pedido o uso de dados de figura externa, então tudo será calculado com fórmulas.

Passo 2

Conceitos necessários (didático rápido): o que é umidade específica (razão de mistura) e como calculá-la a partir da UR
  • Umidade específica (também chamada razão de mistura) é a massa de vapor de água por massa de ar seco. Denotamos por w e tem unidade \mathrm{kg\\ vapor}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco}.
  • A relação entre pressão de vapor p_v, pressão atmosférica p_{atm} e w é:
w = 0{,}622\\ \frac{p_v}{p_{atm}-p_v}.
Aqui 0{,}622 é a razão entre as massas molares da água e do ar seco ajustada ( M_{H_2O}/M_{air}\approx 18{,}016/28{,}964).
  • A pressão parcial de vapor p_v relaciona-se com a umidade relativa \varphi e a pressão de saturação p_{sat}(T) via:
p_v=\varphi\,p_{sat}(T),
onde \varphi é a fração (por exemplo, 25\% = 0{,}25).
  • Para calcular p_{sat}(T) usamos a fórmula de Tetens (boa para temperaturas típicas de climatização):
p_{sat}(T) = 6{,}112\\ \exp\!\left(\frac{17{,}62\,T}{243{,}12+T}\right)\quad\text{(hPa)},
onde T está em ^\circ\mathrm{C}. Depois convertemos hPa para Pa multiplicando por 100.
Agora aplicamos isso para T=22^\circ\mathrm{C} (interno) e para T=8^\circ\mathrm{C} (externo, necessário para o esboço).
Cálculo de p_{sat} em 22^\circ\mathrm{C}:
p_{sat}(22^\circ\mathrm{C}) = 6{,}112\exp\!\left(\frac{17{,}62\cdot 22}{243{,}12+22}\right)\\ \text{hPa}.
Calculemos o expoente:
\frac{17{,}62\cdot 22}{243{,}12+22}=\frac{387{,}64}{265{,}12}\approx 1{,}462.
Então
p_{sat}(22^\circ\mathrm{C}) \approx 6{,}112\cdot e^{1{,}462}\approx 6{,}112\cdot 4{,}314\approx 26{,}38\\ \text{hPa}=2638\\ \mathrm{Pa}.
Cálculo de p_{sat} em 8^\circ\mathrm{C}:
p_{sat}(8^\circ\mathrm{C}) = 6{,}112\exp\!\left(\frac{17{,}62\cdot 8}{243{,}12+8}\right)\\ \text{hPa}.
Expoente:
\frac{17{,}62\cdot 8}{251{,}12}\approx 0{,}5613,
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p_{sat}(8^\circ\mathrm{C})\approx 6{,}112\cdot e^{0{,}5613}\approx 6{,}112\cdot 1{,}753\approx 10{,}71\\ \text{hPa}=1071\\ \mathrm{Pa}.
Agora obtenha as pressões parciais de vapor e em seguida w.
Para o ar interno atual: T=22^\circ\mathrm{C} e \mathrm{UR}=25\%=0{,}25.
p_v^{\text{int,25\%}} = 0{,}25\cdot 2638\\ \mathrm{Pa} \approx 659{,}5\\ \mathrm{Pa}.
Aplicando a fórmula de w:
w_{25\%} = 0{,}622\\ \frac{659{,}5}{101325-659{,}5} = 0{,}622\\ \frac{659{,}5}{100665{,}5}.
Calculando:
w_{25\%}\approx 0{,}622\cdot 0{,}006549 \approx 0{,}00408\\ \mathrm{kg/kg}.
Em unidades mais amigáveis: w_{25\%}\approx 4{,}08\\ \mathrm{g/kg} de ar seco.
Para o ar interno desejado: T=22^\circ\mathrm{C} e \mathrm{UR}=50\%=0{,}50.
p_v^{\text{int,50\%}} = 0{,}50\cdot 2638\\ \mathrm{Pa} \approx 1319\\ \mathrm{Pa}.
w_{50\%} = 0{,}622\\ \frac{1319}{101325-1319} = 0{,}622\\ \frac{1319}{100006}.
Calculando:
w_{50\%}\approx 0{,}622\cdot 0{,}01319 \approx 0{,}00821\\ \mathrm{kg/kg}.
Ou seja w_{50\%}\approx 8{,}21\\ \mathrm{g/kg}.
(Resumo até aqui: umidade específica a 22^\circ\mathrm{C}: para 25\% \Rightarrow w\approx 0{,}00408\\ \mathrm{kg/kg}; para 50\% \Rightarrow w\approx 0{,}00821\\ \mathrm{kg/kg}.)

Passo 3

Resposta da parte (b): vazão volumétrica de renovação
Explicação e cálculo: a taxa de renovação é 1{,}0 renovação por hora num volume V. Assim a vazão volumétrica é simplesmente
\dot V = V\cdot(\text{renovações por hora}).çõ
Com V=1500\\ \mathrm{m}^3 e 1{,}0\\ \mathrm{h}^{-1},
\dot V = 1500\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.

Passo 4

Converter vazão volumétrica em vazão mássica de ar seco (necessário para achar massa de vapor a adicionar)
  • Usamos a equação dos gases ideais para densidade do ar seco:
\rho = \frac{p_{atm}}{R_{a}\,T},
onde R_a é a constante específica do ar seco ( R_a\approx 287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}) e T é a temperatura absoluta em Kelvin.
Para T=22^\circ\mathrm{C}=295{,}15\\ \mathrm{K}:
\rho_{22}=\frac{101325}{287{,}05\cdot 295{,}15}\\ \mathrm{kg/m}^3\approx 1{,}196\\ \mathrm{kg/m}^3.
Logo a vazão mássica de ar seco é
\dot m_{ar} = \rho_{22}\,\dot V = 1{,}196\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 1500\\ \frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{h}}\approx 1794\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{h}}.
Explicação: essa é a massa de ar seco que entra por hora (assumimos que o ar ocupado é predominantemente ar seco + pequenas frações de vapor; a diferença entre massa total e massa de ar seco é desprezível para este cálculo porque usamos w para a fração de vapor).

Passo 5

Cálculo da quantidade de vapor a adicionar (parte c)
  • Fórmula: a massa de vapor necessária por hora é a massa de ar seco por hora multiplicada pela diferença das umidades específicas desejada e atual:
\dot m_{v} = \dot m_{ar}\,\bigl(w_{50\%}-w_{25\%}\bigr).
Já calculamos:
\dot m_{ar}\approx 1794\\ \mathrm{kg/h},\quad w_{50\%}\approx 0{,}00821\\ \mathrm{kg/kg},\quad w_{25\%}\approx 0{,}00408\\ \mathrm{kg/kg}.
Diferença:
\Delta w = w_{50\%}-w_{25\%}\approx 0{,}00821-0{,}00408=0{,}00413\\ \mathrm{kg/kg}.
Portanto
\dot m_{v} \approx 1794\cdot 0{,}00413\\ \mathrm{kg/h}\approx 7{,}41\\ \mathrm{kg/h}.
Interpretação prática: o umidificador precisa fornecer cerca de 7{,}4 litros de água por hora (aproximando 1\\ \mathrm{kg} de água ≈ 1\\ \mathrm{L}), para elevar o ar de renovação de 25\% para 50\% a 22^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Parte (d) — esboço do processo na carta psicrométrica (explicação passo a passo para desenhar)
Vou dar os pontos numéricos que você pode marcar na carta psicrométrica e explicar os movimentos:
  1. Estado 1 — ar externo (dado): T_{bs}=8^\circ\mathrm{C}, \mathrm{UR}=85\%.
    • Calculamos a pressão parcial de vapor externa: p_v^{ext}=0{,}85\cdot p_{sat}(8^\circ\mathrm{C})\approx 0{,}85\cdot 1071\\ \mathrm{Pa}\approx 910{,}4\\ \mathrm{Pa}.
    • Umidade específica externa: w_{ext}=0{,}622\frac{910{,}4}{101325-910{,}4}\approx 0{,}005645\\ \mathrm{kg/kg}\\ (\approx 5{,}65\\ \mathrm{g/kg}).
    • Marque na carta o ponto correspondente a T=8^\circ\mathrm{C} e \mathrm{UR}=85\% (ou (8°C, w\approx 5{,}65\\ \mathrm{g/kg})).
  2. Estado 2 — aquecimento do ar externo para 22^\circ\mathrm{C} sem troca de vapor (aquecimento seco, processo a w= constante).
    • Ao aquecer para 22^\circ\mathrm{C} a pressão de vapor p_v não muda (nenhum vapor adicionado), logo w permanece 0{,}005645\\ \mathrm{kg/kg}.
    • Em 22^\circ\mathrm{C} essa condição corresponde a uma UR menor: \phi_{após\\ aquecimento}=\frac{p_v^{ext}}{p_{sat}(22^\circ\mathrm{C})}=\frac{910{,}4}{2638}\approx 0{,}345\\ (34{,}5\%).ó
    • Na carta, isso é um deslocamento horizontal (para a direita) do ponto 1 até T=22^\circ\mathrm{C} mantendo a mesma linha de w. Marque o ponto 2 em T=22^\circ\mathrm{C} e w\approx 5{,}65\\ \mathrm{g/kg} (UR \approx 34{,}5\%).
  3. Estado 3 — umidificação até a condição interna desejada ( T=22^\circ\mathrm{C}, \mathrm{UR}=50\%).
    • A umidificação por vapor a 22^\circ\mathrm{C} é aproximadamente um processo a temperatura constante (adicionar vapor quente ou vapor a 22^\circ\mathrm{C} mistura de vapor), portanto na carta é um movimento vertical para cima (aumenta w mantendo T_{bs} constante).
    • O ponto final desejado tem w_{50\%}\approx 8{,}21\\ \mathrm{g/kg}. Assim, do ponto 2 (em w\approx 5{,}65\\ \mathrm{g/kg}) sobe-se verticalmente até w\approx 8{,}21\\ \mathrm{g/kg} e essa é a condição do ar entregue aos ambientes após umidificação (ponto 3).
    • Observação: no enunciado a parte (c) pediu considerar que estamos começando de 25\% (a condição interna atual). Se você representar isso na carta, marque também o ponto interno atual: T=22^\circ\mathrm{C}, \mathrm{UR}=25\% com w\approx 4{,}08\\ \mathrm{g/kg}. O ar de renovação aquecido (ponto 2) com w\approx 5{,}65\\ \mathrm{g/kg} já é mais úmido do que o ar interno atual; assim, se houvesse mistura/retenção, parte do problema de secura seria amenizado sem umidificação. Mas seguindo a hipótese do item (c) (umidificar do valor 25\% para 50\% num ar a 22^\circ\mathrm{C}), o processo de umidificação é a subida vertical de w_{25\%} até w_{50\%} a 22^\circ\mathrm{C}.
Como desenhar na carta (passo a passo prático):
  • Marque a temperatura seca T=8^\circ\mathrm{C} e siga a curva de UR até 85\% — esse é o ponto 1.
  • A partir do ponto 1, trace uma linha horizontal (constante w) até T=22^\circ\mathrm{C} — esse é o ponto 2.
  • Do ponto 2, trace uma linha vertical para cima até atingir a UR ou o w desejado (ponto 3 para 50\% a 22^\circ\mathrm{C}).

Passo 7

Pequeno incentivo: você já tem os números práticos (umidade específica, vazões e vazão de água). Com esses valores dá para selecionar um umidificador adequado (capacidade ≈ 7{,}4\\ \mathrm{kg/h}) e fazer o esboço na carta psicrométrica com os três pontos descritos.

Resposta

a) w_{25\%@22^\circ\mathrm{C}} \approx 0{,}00408\\ \mathrm{kg/kg} (≈ 4{,}08\\ \mathrm{g/kg}); w_{50\%@22^\circ\mathrm{C}} \approx 0{,}00821\\ \mathrm{kg/kg} (≈ 8{,}21\\ \mathrm{g/kg}).
b) \dot V = 1500\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
c) \dot m_{v}\approx 7{,}41\\ \mathrm{kg/h}.
d) Estado 1: T=8^\circ\mathrm{C},\\ \mathrm{UR}=85\%,\\ w\approx 0{,}005645\\ \mathrm{kg/kg}.
Estado 2: aquecimento a 22^\circ\mathrm{C} a w constante ( w\approx 0{,}005645\\ \mathrm{kg/kg}), UR após aquecimento \approx 34{,}5\%.
Estado 3: umidificação a 22^\circ\mathrm{C} (movimento vertical na carta) até w\approx 0{,}00821\\ \mathrm{kg/kg} (UR =50\%).

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