Calcule o limite \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right).
Escolha uma opção:
a) +\infty
b) 0
c) 1 / 2
d) 1
e) -1

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to1}\Bigl(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\Bigr).
Esse é um caso de forma indeterminada \tfrac{0}{0}, e vamos usar séries de Taylor para a função \ln x em torno de x=1.

Passo 2

Reescrevemos a expressão como uma única fração:
\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1} = \frac{(x-1)-\ln x}{(x-1)\,\ln x}.
Assim o limite vira
\lim_{x\to1}\frac{(x-1)-\ln x}{(x-1)\,\ln x}.

Passo 3

Expandimos \ln x em série de Taylor ao redor de x=1:
\ln x = (x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+o\bigl((x-1)^2\bigr).
Logo o numerador fica
(x-1)-\ln x = (x-1)-\Bigl[(x-1)-\tfrac{(x-1)^2}{2}+o((x-1)^2)\Bigr] = \frac{(x-1)^2}{2}+o((x-1)^2),
enquanto o denominador é
(x-1)\,\ln x = (x-1)\Bigl[(x-1)-\tfrac{(x-1)^2}{2}+o((x-1)^2)\Bigr] = (x-1)^2+o((x-1)^2).

Passo 4

Dividindo os termos principais, temos
\lim_{x\to1}\frac{\frac{(x-1)^2}{2}+o((x-1)^2)}{(x-1)^2+o((x-1)^2)} =\frac{1}{2}.

Resposta

c) \tfrac{1}{2}

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