Considere um movimento cuja aceleração é dada por \mathbf{a}(t)=g \mathbf{k}, sendo g uma constante. As condições iniciais do movimento são \mathbf{r}(0)=(0,0,0) e \mathbf{v}(0)=\left(v_{x}, 0, v_{z}\right).
(a) Determine a função posição \mathbf{r}(t) da partícula como função do tempo.
(b) Esboce o gráfico da trajetória da partícula, assumindo g=-3,72 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} (gravidade média de Marte), v_{x}=v_{y}=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e considerando os intervalos de t e x para os quais z(t) \geqslant 0.

Passo 1

O enunciado trata de um movimento em que \displaystyle \mathbf{a}(t)=g\,\mathbf{k},
com condições iniciais \mathbf{r}(0)=(0,0,0) e \mathbf{v}(0)=(v_x,0,v_z).
O conteúdo é cinemática de movimento com aceleração constante. Vamos primeiro obter \mathbf{v}(t) e depois \mathbf{r}(t). Em (b) usaremos g=-3,72,m/ s^{2} e v_x=v_z=4,m/s, determinando também o intervalo em que z(t)\ge0 e esboçando z em função de x.

Passo 2

Integrando a aceleração para achar a velocidade, temos
\mathbf{v}(t) = \mathbf{v}(0) + \int_{0}^{t} g\,\mathbf{k}\,dt' = \begin{pmatrix}v_x\\\ 0\v_z\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\\ 0\g\,t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}v_x\\\ 0\v_z + g\,t\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora integramos \mathbf{v}(t) para obter a posição:
\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(0) + \int_{0}^{t} \mathbf{v}(t')\,dt' = \int_{0}^{t} \begin{pmatrix}v_x\\\ 0\v_z + g\,t'\end{pmatrix}dt' = \begin{pmatrix}v_x\,t\\[6pt]0\\[3pt]v_z\,t + \tfrac12\,g\,t^2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para o item (b), substituímos g=-3,72 e v_x=v_z=4. Fica
z(t)=4\,t + \tfrac12(-3,72)\,t^2 =4\,t -1,86\,t^2.
Impor z(t)\ge0
4\,t -1,86\,t^2 \ge 0 \;\Longrightarrow\; t\,(4 -1,86\,t)\ge0 \;\Longrightarrow\; t\in\bigl[0,\tfrac{4}{1,86}\bigr] \approx[0,2,15]\text{ s}.

Passo 5

O correspondente em x é x(t)=4\,t, logo
x\in[0,4\cdot2,15]\approx[0,8,6]\text{ m}.
Eliminando t=x/4 em z(t), obtemos a equação da trajetória:
z(x) =4\,(x/4) -1,86\,(x/4)^2 = x \;-\;0,11625\,x^2.
O vértice dessa parábola ocorre em
x_v = -\frac{b}{2a} = \frac{1}{2\cdot0,11625}\approx4,30\text{ m}, \quad z_{\max}\approx2,15\text{ m}.

Passo 6

O gráfico de z versus x é uma parábola voltada para baixo, com raízes em x=0 e x\approx8,6 m e vértice em (4,3;2,15). Esse esboço representa a trajetória do projétil em um plano vertical.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\bigl(v_x\,t,\;0,\;v_z\,t+\tfrac12\,g\,t^2\bigr).
(b) Para g=-3,72,m/ s^{2} e v_x=v_z=4,m/s:
\begin{cases} x(t)=4\,t,\\\ z(t)=4\,t -1,86\,t^2,\quad t\in[0,2,15]\text{ s},\\\ z(x)=x -0,11625\,x^2,\quad x\in[0,8,6]\text{ m}. \end{cases}

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