A derivada da função f(x)=\frac{1}{3} e^{3 x} \operatorname{sen}(3 x) é:
Escolha uma opção:
a) f^{\prime}(x)=-e^{3 x}(\cos (3 x)+\operatorname{sen}(3 x))
b) f^{\prime}(x)=e^{3 x}+\cos (3 x)
C) f^{\prime}(x)=e^{3 x} \cos (3 x)
d) f^{\prime}(x)=e^{3 x}(\operatorname{sen}(3 x-(\cos (3 x)
e) f^{\prime}(x)=e^{3 x}(\cos (3 x)+\operatorname{sen}(3 x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\tfrac{1}{3}e^{3x}\,\sin(3x).
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Usamos a regra do produto em
f(x)=\tfrac{1}{3}\bigl(u(x)\cdot v(x)\bigr)
com u(x)=e^{3x} e v(x)=\sin(3x). A derivada de um produto é
(u\,v)'=u'\,v+u\,v'.

Passo 3

Calculamos u' e v' usando a regra da cadeia:
u'(x)=\bigl(e^{3x}\bigr)'=3e^{3x}, \qquad v'(x)=\bigl(\sin(3x)\bigr)'=3\cos(3x).

Passo 4

Aplicando produto e fator 1/3:
f'(x) =\tfrac{1}{3}\bigl(3e^{3x}\sin(3x)+e^{3x}\cdot3\cos(3x)\bigr) =e^{3x}\bigl(\sin(3x)+\cos(3x)\bigr).

Resposta

e) \displaystyle f'(x)=e^{3x}\bigl(\cos(3x)+\sin(3x)\bigr)

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