Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 0} x^{2}\,\operatorname{sen}\Bigl(\frac{1}{x^{1/3}}\Bigr).
Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), lembrando que \operatorname{sen} é uma função limitada.

Passo 2

Sabemos que para todo real t vale
-1 \le \operatorname{sen}(t) \le 1.
Substituindo t = \frac{1}{x^{1/3}}, obtemos
-1 \le \operatorname{sen}\Bigl(\frac{1}{x^{1/3}}\Bigr) \le 1.

Passo 3

Multiplicando essa desigualdade por x^{2}, que é não‐negativo quando x\to0, resulta
-\,x^{2} \le x^{2}\,\operatorname{sen}\Bigl(\frac{1}{x^{1/3}}\Bigr) \le x^{2}.
Como
\lim_{x\to0} -x^{2} = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0} x^{2} = 0,
pelo Teorema do Confronto concluímos que

Passo 4

\lim_{x\to0} x^{2}\,\operatorname{sen}\Bigl(\frac{1}{x^{1/3}}\Bigr) = 0.

Resposta

0

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