Determine cada um dos limites dados a seguir.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\operatorname{sec} (x)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \operatorname{sec}(x)}{x^{2}}.
O conteúdo aqui é limite de função no ponto e vamos usar a expansão em série de Taylor de \operatorname{sec}(x) em torno de x=0.

Passo 2

Começamos pela expansão de \cos(x) em torno de zero:
\cos(x) = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{4}).
Como \operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)}, podemos inverter essa série até a ordem x^{2}.

Passo 3

Invertendo a série de \cos(x) ou usando as derivadas de \operatorname{sec} em zero, obtemos
\operatorname{sec}(x) = 1 + \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2}).
Portanto
1 - \operatorname{sec}(x) = -\frac{x^{2}}{2} + o(x^{2}).

Passo 4

Dividindo por x^{2} e tomando o limite, fica
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \operatorname{sec}(x)}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{-\tfrac{x^{2}}{2} + o(x^{2})}{x^{2}} = -\frac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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