\hline 7) & \begin{tabular}{l}
Calcule o seguinte limite, caso exista: \
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\pi x)}{\sin (23 x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\pi x)}{\sin(23x)}.
O conteúdo aqui é o uso da aproximação de pequenas variáveis para a função seno, baseada no fato de que
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão de forma a usar o limite fundamental. Note que
\frac{\sin(\pi x)}{\sin(23x)} = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\;\cdot\;\frac{\pi x}{23x}\;\cdot\;\frac{23x}{\sin(23x)}.

Passo 3

À medida que x\to0, temos
\lim_{x\to0}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}\frac{23x}{\sin(23x)}=1.
Logo,
\lim_{x\to0}\frac{\sin(\pi x)}{\sin(23x)} =1\;\cdot\;\frac{\pi}{23}\;\cdot\;1 =\frac{\pi}{23}.

Resposta

\frac{\pi}{23}

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