Calcule o limite
lim (x, y) (0,0) x yx-y^2
ou mostre que ele não existe.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite de uma função de duas variáveis dado por lim(x,y)to(0,0)dfracxyx-y^2. Esse é um problema de limite em R^2, então vamos testar diferentes caminhos para ver se o valor é único.

Passo 2

Em multivariáveis, um jeito simples de começar é pegar uma das variáveis zero. Tomando y=0, a expressão fica:
xcdot0x-0^2=0
e ao levar xto0 obtemos 0.

Passo 3

Agora escolhemos um caminho mais sutil que anule parcialmente o denominador sem deixar tudo zero. Seja x=y^2+y^3. Substituindo na expressão:
(y^2+y^3),y(y^2+y^3)-y^2= y^3+y^4y^3=1+y
Ao levar yto0 isso tende a 1.

Passo 4

Como ao longo de y=0 o limite é 0 e seguindo x=y^2+y^3 o limite tende a 1, obtemos valores diferentes. Em funções de duas variáveis, se dois caminhos darem resultados distintos, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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