Desenhe a imagem da superfície parametrizada dada:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a imagem da parametrização
com domínio dado por
Aqui o que vamos usar é a interpretação geométrica de uma parametrização como o gráfico de uma função sobre uma região do plano.
Passo 2
Observe que, pela própria definição, as primeiras duas componentes de
são
e a terceira é
Ou seja, a imagem de
está contida na superfície
no espaço
.
Passo 3
O domínio
em
vira exatamente o triângulo em
com vértices
pois
dá
,
dá
e
dá
, e a condição
fecha o triângulo.
Passo 4
Portanto a superfície parametrizada é o gráfico da função
sobre o triângulo de vértices
,
e
. Geometricamente isso é um trecho de cilindro parabólico (porque a curva
estica-se paralelamente ao eixo
).
Passo 5
Para desenhar, basta
- desenhar no plano
o triângulo com vértices , , ; - em cada ponto
desse triângulo elevar até ; - traçar as curvas de nível da parábola no plano
e estendê-las paralelas ao eixo .
Resposta
A imagem é o pedaço da superfície
acima do triângulo de vértices
,
e
no plano
. É, portanto, um trecho de cilindro parabólico aberto para baixo.