Desenhe a imagem da superfície parametrizada dada:
sigma(u, v)=(u, v, 1-u^2), u >= 0, v >= 0 e u+v <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a imagem da parametrização
sigma(u,v) = (u,,v,,1 - u^2),
com domínio dado por
D = (u,v)mid u>=0,;v>=0,;u+v<=1
Aqui o que vamos usar é a interpretação geométrica de uma parametrização como o gráfico de uma função sobre uma região do plano.

Passo 2

Observe que, pela própria definição, as primeiras duas componentes de sigma são
x = u, y = v,
e a terceira é
z = 1 - u^2 = 1 - x^2
Ou seja, a imagem de sigma está contida na superfície
z = 1 - x^2
no espaço (x,y,z).

Passo 3

O domínio D em (u,v) vira exatamente o triângulo em (x,y) com vértices
(0,0),;(1,0),;(0,1),
pois u=v=0 (0,0), u=1,v=0 (1,0) e u=0,v=1 (0,1), e a condição u+v<=1 fecha o triângulo.

Passo 4

Portanto a superfície parametrizada é o gráfico da função
f(x,y) = 1 - x^2
sobre o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1). Geometricamente isso é um trecho de cilindro parabólico (porque a curva xmapsto (x,,1-x^2) estica-se paralelamente ao eixo y).

Passo 5

Para desenhar, basta
  1. desenhar no plano xy o triângulo com vértices (0,0), (1,0), (0,1);
  2. em cada ponto (x,y) desse triângulo elevar até z = 1 - x^2;
  3. traçar as curvas de nível da parábola no plano (x,z) e estendê-las paralelas ao eixo y.

Resposta

A imagem é o pedaço da superfície
z = 1 - x^2
acima do triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1) no plano xy. É, portanto, um trecho de cilindro parabólico aberto para baixo.

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