Considere a função f(x, y)=2 x y^2x^2+y^4. Dados (a, b) in R^2, com a^2+b^2>0, seja gamma1(t)=t(a, b). Mostre que
lim t 0 f(gamma1(t))=0
Por outro lado, considere a curva gamma2(t)=(t^2, t). Calcule o limite lim t 0 f(gamma2(t)). O limite
lim (x, y) (0,0) 2 x y^2x^2+y^4
pode existir?

Passo 1

O enunciado trata do estudo do limite de uma função de duas variáveis
f(x,y)=2,x,y^2x^2+y^4
quando (x,y)to(0,0) ao longo de duas curvas distintas:
gamma1(t)=(a,t,;b,t) com a^2+b^2>0.
gamma2(t)=(t^2,,t).
Vamos usar substituição direta nessas parametrizações e comparar os resultados para concluir se o limite em (0,0) existe.

Passo 2

Substituindo gamma1(t)=(a,t,b,t) em f:
fl(a,t,b,tr) =2,(a,t),(b,t)^2(a,t)^2+(b,t)^4 =2,a,b^2,t^3a^2,t^2+b^4,t^4 =2,a,b^2,t^3t^2l(a^2+b^4,t^2r) =2,a,b^2,ta^2+b^4,t^2
Como a^2+b^2>0, para tneq0 o denominador não anula-se de forma que, ao fazer tto0, o numerador vai a zero e o denominador tende a a^2 (ou para cada caso particular o quociente tende a zero). Logo
limtto0fl(gamma1(t)r)=0

Passo 3

Substituindo gamma2(t)=(t^2,t) em f:
fl(t^2,tr) =2,(t^2),(t)^2(t^2)^2+t^4 =2,t^4t^4+t^4 =2,t^42,t^4 =1, tneq0
Portanto
limtto0fl(gamma2(t)r)=1

Passo 4

Como ao longo de gamma1 o limite é 0 e ao longo de gamma2 o limite é 1, os dois caminhos levam a valores diferentes. Logo o limite
lim(x,y)to(0,0)2,x,y^2x^2+y^4
não existe.

Resposta

limtto0fl(gamma1(t)r)=0, limtto0fl(gamma2(t)r)=1,
e o limite em (0,0) não existe.

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