Calcule o limite
ou mostre que ele não existe.
Passo 1
Beleza, temos o seguinte exercício: Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de
da função
. Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar como a função se comporta à medida que nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão
. Aqui, o numerador é
e o denominador é a raiz quadrada de
, que representa a distância do ponto
até a origem na coordenada euclidiana. Queremos ver o que acontece com essa fração à medida que
se aproxima de
.
Passo 3
Uma maneira eficiente de resolver limites de funções de várias variáveis é usando coordenadas polares. Vamos converter
e
para
e
, onde:
Dessa forma, quando
tende a 0, o ponto
se aproxima de
.
Passo 4
Substituindo
e
na função, temos:
Simplificando o denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento de
quando
tende a 0. Como
está sempre entre 0 e 1, temos que:
E, conforme
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, independentemente do valor de
.
Passo 6
Portanto, concluímos que:
Resposta
O limite é igual a
.