Calcule o limite
lim (x, y) (0,0) x^2raizx^2+y^2
ou mostre que ele não existe.

Passo 1

Beleza, temos o seguinte exercício: Precisamos calcular o limite quando (x, y) se aproxima de (0,0) da função x^2raizx^2+y^2 . Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar como a função se comporta à medida que nos aproximamos do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão x^2raizx^2+y^2 . Aqui, o numerador é x^2 e o denominador é a raiz quadrada de x^2 + y^2 , que representa a distância do ponto (x, y) até a origem na coordenada euclidiana. Queremos ver o que acontece com essa fração à medida que (x, y) se aproxima de (0,0) .

Passo 3

Uma maneira eficiente de resolver limites de funções de várias variáveis é usando coordenadas polares. Vamos converter x e y para r e theta , onde:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
Dessa forma, quando r tende a 0, o ponto (x, y) se aproxima de (0,0) .

Passo 4

Substituindo x e y na função, temos:
x^2raizx^2+y^2 = (r cos(theta))^2raiz(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2
Simplificando o denominador:
raizr^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) = raizr^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = raizr^2 = r
Então, a expressão fica:
r^2 cos^2(theta)r = r cos^2(theta)

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de r cos^2(theta) quando r tende a 0. Como cos^2(theta) está sempre entre 0 e 1, temos que:
0 <= r cos^2(theta) <= r
E, conforme r se aproxima de 0, r cos^2(theta) também se aproxima de 0, independentemente do valor de theta .

Passo 6

Portanto, concluímos que:
lim (x, y) (0,0) x^2raizx^2+y^2 = 0

Resposta

O limite é igual a 0 .

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