Considere a reta com equação paramétrica vetorial
X(s)=(1,1,0)+s(1,-1,2)
Seja Y(t)=(2,1,-2)+t(1, a, 2) outra reta. Investigue se existe a in R tal que as retas sejam concorrentes. Para a=0, encontre os pontos Y(t0) e X(s0) que estão mais próximos.

Passo 1

O enunciado dá duas retas paramétricas em ℝ³: X(s) = (1,1,0) + s(1,−1,2) e Y(t) = (2,1,−2) + t(1,a,2). O conteúdo é estudo de retas no espaço: 1) ver se elas se intersectam (concorrem) variando a ∈ ℝ e 2) para a=0 achar os pontos de mínima distância. Vamos precisar igualar componentes para concorrência e usar a condição de perpendicularidade do vetor que une dois pontos para achar a menor distância.

Passo 2

Para investigar se existe a tal que as retas concorram, igualamos X(s)=Y(t) em cada coordenada:
1+s = 2+t, 1−s = 1 + a,t, 2s = −2 + 2t
Das duas primeiras e da última obtemos
s−t = 1, −s − a,t = 0, s−t = −1
Como as equações em s−t são contraditórias (1 ≠ −1), não existe valor de a que torne as retas concorrentes.

Passo 3

Agora para a=0, as retas são X(s) = (1,1,0)+s(1,−1,2) e Y(t) = (2,1,−2)+t(1,0,2). Seja u = X(s)−Y(t). Para o segmento que une dois pontos das retas ser de comprimento mínimo, u deve ser ortogonal a ambos os vetores direção d₁=(1,−1,2) e d₂=(1,0,2).

Passo 4

Calculamos primeiro u:
u = X(s)−Y(t) = (1+s − (2+t),;1−s−1,;2s − (−2+2t)) = (s−t−1,;-s,;2s+2−2t)
Aplicamos as condições u⋅d₁=0 e u⋅d₂=0:
ucdot d₁ = (s−t−1) + s + 2(2s+2−2t) = 6s−5t+3 = 0,
ucdot d₂ = (s−t−1) + 2(2s+2−2t) = 5s−5t+3 = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema:
6s−5t = −3, 5s−5t = −3,
subtraindo a segunda da primeira dá s=0. Então de 5s−5t=−3 obtemos t=3/5.

Passo 6

Finalmente, os pontos mais próximos são
X(0) = (1,1,0), Yl(tfrac35r) = l(2+tfrac35,;1,;-2+2tfrac35r) = l(tfrac135,1,−tfrac45r)

Resposta

Não existe valor de a que torne as retas concorrentes. Para a=0, os pontos de mínima distância são X(0)=(1,1,0) e Y(3/5)=(13/5,1,−4/5).

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