Considere a reta com equação paramétrica vetorial
Seja
outra reta. Investigue se existe
tal que as retas sejam concorrentes. Para
, encontre os pontos
e
que estão mais próximos.
Passo 1
O enunciado dá duas retas paramétricas em ℝ³: X(s) = (1,1,0) + s(1,−1,2) e Y(t) = (2,1,−2) + t(1,a,2). O conteúdo é estudo de retas no espaço: 1) ver se elas se intersectam (concorrem) variando a ∈ ℝ e 2) para a=0 achar os pontos de mínima distância. Vamos precisar igualar componentes para concorrência e usar a condição de perpendicularidade do vetor que une dois pontos para achar a menor distância.
Passo 2
Para investigar se existe a tal que as retas concorram, igualamos X(s)=Y(t) em cada coordenada:
Das duas primeiras e da última obtemos
Como as equações em s−t são contraditórias (1 ≠ −1), não existe valor de a que torne as retas concorrentes.
Passo 3
Agora para a=0, as retas são X(s) = (1,1,0)+s(1,−1,2) e Y(t) = (2,1,−2)+t(1,0,2). Seja u = X(s)−Y(t). Para o segmento que une dois pontos das retas ser de comprimento mínimo, u deve ser ortogonal a ambos os vetores direção d₁=(1,−1,2) e d₂=(1,0,2).
Passo 4
Calculamos primeiro u:
Aplicamos as condições u⋅d₁=0 e u⋅d₂=0:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
subtraindo a segunda da primeira dá s=0. Então de 5s−5t=−3 obtemos t=3/5.
Passo 6
Finalmente, os pontos mais próximos são
Resposta
Não existe valor de a que torne as retas concorrentes. Para a=0, os pontos de mínima distância são X(0)=(1,1,0) e Y(3/5)=(13/5,1,−4/5).