Use o Teorema do Confronto para calcular
lim x, y 0 log (1+x) x yx^2+y^2-x y

Passo 1

Neste exercício, queremos calcular o limite de duas variáveis
lim(x,y)to(0,0) log(1+x)x,yx^2+y^2 - x y
O conteúdo principal é limite de função de duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto. Precisaremos de uma estimativa para log(1+x) perto de zero e de um limite inferior para o denominador.

Passo 2

Para controlar log(1+x) quando xto0, usamos a expansão de Taylor (ou desigualdade clássica). Em particular, para |x| vale
|log(1+x)|<= 2|x|

Passo 3

Precisamos agora de uma cota de baixo para o denominador. Note que
2l(x^2+y^2 - x yr)=2x^2+2y^2-2xy=(x-y)^2+(x^2+y^2)>= x^2+y^2,
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x^2+y^2-xy>= tfrac12,(x^2+y^2)

Passo 4

Com essas estimativas, para |x| temos
gl|log(1+x)x yx^2+y^2-xygr| <=2|x|cdot|x y|tfrac12(x^2+y^2) =4|x|^2,|y|x^2+y^2

Passo 5

Para finalizar, usamos que
|x|^2<= x^2+y^2, |y|<=raizx^2+y^2,
então
4|x|^2,|y|x^2+y^2<=4(x^2+y^2)raizx^2+y^2x^2+y^2=4raizx^2+y^2
Como 4raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), pelo Teorema do Confronto conclui-se que o limite original também é zero.

Resposta

0

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